Divisor

En matemáticas, un divisor dun número enteiro ${\displaystyle n,}$ tamén chamado factor de ${\displaystyle n,}$ é un número enteiro ${\displaystyle m}$ que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir ${\displaystyle n.}$ ^[1] Neste caso, tamén se di que ${\displaystyle n}$ é múltiplo de ${\displaystyle m.}$ Un número enteiro ${\displaystyle n}$ é divisible por outro número enteiro ${\displaystyle m}$ se ${\displaystyle m}$ é un divisor de ${\displaystyle n}$; isto implica que ao dividir ${\displaystyle n}$ por ${\displaystyle m}$ non temos un resto.

Definición

Un número enteiro ${\displaystyle n}$ é divisible por un número enteiro distinto de cero ${\displaystyle m}$ se existe un número enteiro ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle n=km.}$ A nomenclatura habitual é

${\displaystyle m\mid n.}$

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así ${\displaystyle m}$ divide a ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ é un divisor de ${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$ é un factor de ${\displaystyle n,}$ ou ${\displaystyle n}$ é múltiplo de ${\displaystyle m.}$ Se ${\displaystyle m}$ non divide a ${\displaystyle n,}$ daquela a notación é ${\displaystyle m\not \mid n.}$ ^{[2] [3]}

Que en latex sería "m \not\mid n".

Xeral

Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1, ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle -n}$ coñécense como divisores triviais de ${\displaystyle n.}$ Un divisor de ${\displaystyle n}$ que non é un divisor trivial coñécese como un divisor non trivial (ou divisor estrito ^[4]). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.

Os divisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.

Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

Exemplos

• 7 é un divisor de 42 porque ${\displaystyle 7\times 6=42,}$ así podemos dicir ${\displaystyle 7\mid 42.}$ Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
• Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
• Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
• O conxunto de todos os divisores positivos de 60, ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$ parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:

Outras nocións e feitos

Algunhas regras elementais:

• Se ${\displaystyle a\mid b}$ e ${\displaystyle b\mid c,}$ entón ${\displaystyle a\mid c,}$ é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
• Se ${\displaystyle a\mid b}$ e ${\displaystyle b\mid a,}$ entón ${\displaystyle a=b}$ ou ${\displaystyle a=-b.}$
• Se ${\displaystyle a\mid b}$ e ${\displaystyle a\mid c,}$ entón cúmprese que ${\displaystyle a\mid (b+c)}$, igual para a resta ${\displaystyle a\mid (b-c).}$

Se ${\displaystyle a\mid bc,}$ e ${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$ entón ${\displaystyle a\mid c.}$ ^[a] Isto denómínase lema de Euclides.

Se ${\displaystyle p}$ é un número primo e ${\displaystyle p\mid ab}$ entón ${\displaystyle p\mid a}$ ou ${\displaystyle p\mid b.}$

Un número enteiro ${\displaystyle n>1}$ cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo.

Calquera divisor positivo de ${\displaystyle n}$ é un produto de divisores primos de ${\displaystyle n}$ elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .

Un número ${\displaystyle n}$ dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que ${\displaystyle n,}$ e abundante se esta suma supera ${\displaystyle n.}$

O número total de divisores positivos de ${\displaystyle n}$ é unha función multiplicativa ${\displaystyle d(n),}$ no caso de ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ seren relativamente primos, entón ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ Por exemplo, ${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$ ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$

A suma dos divisores positivos de ${\displaystyle n}$ é outra función multiplicativa ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$ (p. ex ${\displaystyle \sigma _{1}(42)=96=3\times 4\times 8=\sigma _{1}(2)\times \sigma _{1}(3)\times \sigma _{1}(7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$ ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso ${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}$, pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de ${\displaystyle n}$ está dada polos primos

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

daquela o número de divisores positivos de ${\displaystyle n}$ é

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

e cada un dos divisores ten a forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

onde ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ para cada ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Para cada número natural ${\displaystyle n,}$ temos ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

En álxebra abstracta

Teoría de aneis

Artigo principal: Divisibilidade (anel).

Retícula de división

Artigo principal: Retícula de división.

Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$ de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro ∧ ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión ∨ polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.