Función erro

En matemáticas, a función erro (tamén chamada función erro de Gauss), denotada a miúdo por erf, é unha función ${\displaystyle \mathrm {erf}$ :\mathbb {C} \to \mathbb {C} } definida como:^[1]

$${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}},\mathrm {d} t.}$$

A integral aquí é unha integral de contorno complexa, que é independente do camiño porque ${\displaystyle \exp(-t^{2})}$ é unha función holomorfa en todo o plano complexo ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En moitas aplicacións, o argumento da función é un número real, e nese caso o valor da función tamén é real.

Nalgúns textos antigos, a función erro defínese sen o factor ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}}$. Esta integral non elemental é unha función sigmoide que aparece con frecuencia en probabilidade, estatística e ecuacións diferenciais parciais.^[2]

En estatística, para valores reais non negativos de x, a función erro ten a seguinte interpretación: para unha variábel aleatoria real Y que segue unha distribución normal con media 0 e desviación típica ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$, erf x é a probabilidade de que Y estea no intervalo ${\displaystyle [-x,x]}$.