Homotecia

En matemáticas, unha homotecia é unha transformación dun espazo afín determinada por un punto S chamado centro e un número distinto de cero ${\displaystyle k}$ chamado o seu ratio, que envía o punto ${\displaystyle X}$ ata un punto ${\displaystyle X'}$ mediante a regra ^[1]

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$ para un número fixo ${\displaystyle k\neq 0}$.

Homotecia: Exemplo con ${\displaystyle k>0}$
Para ${\displaystyle k=1}$ obtense a identidade (non se move punto ningún),
Para ${\displaystyle k>1}$ unha ampliación
Para ${\displaystyle k<1}$ unha redución

Exemplo con ${\displaystyle k<0}$
Para ${\displaystyle k=-1}$ obtense unha simetría central nun punto ${\displaystyle S}$

Homotecia dunha pirámide

Usando vectores de posición:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$ .

No caso de ${\displaystyle S=O}$ (Orixe):

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$ ,

que é unha escala uniforme, onde temos algunhas opcións especiais para ${\displaystyle k}$ :

para ${\displaystyle k=1}$ obtemos o mapeo de identidade,

para ${\displaystyle k=-1}$obtemos o reflexo no centro,

Para ${\displaystyle 1/k}$ obtense o mapa inverso definida por ${\displaystyle k}$ .

Na xeometría euclidiana as homotecias son as semellanzas que fixan un punto e conservan (se ${\displaystyle k>0}$) ou inverten (se ${\displaystyle k<0}$ ) a dirección de todos os vectores. Xunto coas translacións, todas as homotecias dun espazo afín (ou euclidiano) forman un grupo, o grupo de homotecías-translacións. Estas son precisamente as transformacións afines coa propiedade de que a imaxe de cada recta g é unha liña paralela a g.

En xeometría proxectiva, unha transformación homotética é unha transformación de semellanza (é dicir, fixa unha involución elíptica dada) que deixa a recta no infinito invariante.^[2]

Na xeometría euclidiana, unha homotecia de razón ${\displaystyle k}$ multiplica as distancias entre puntos por ${\displaystyle |k|}$, áreas por ${\displaystyle k^{2}}$ e volumes por ${\displaystyle |k|^{3}}$. Aquí ${\displaystyle k}$ é o factor de aumento ou dilatación ou o factor de escala ou a razón de semellanza. Tal transformación pódese chamar ampliación se o factor de escala supera 1. O punto fixo S mencionado anteriormente chámase centro homotético ou centro de semellanza.

As homotecias utilízanse para escalar o contido das pantallas de ordenador; por exemplo, teléfonos intelixentes, notebooks e portátiles.

Propiedades

As seguintes propiedades cúmprense en calquera dimensión.

Mapeo de liñas, segmentos e ángulos

• Unha liña mapea nunha liña paralela. Polo tanto: os ángulos permanecen inalterados.
• Consérvase a razón de dous segmentos de liña .

Ambas as propiedades mostran:

• Unha homotecia é unha semellanza .

Consecuencias: un triángulo mapea sobre outro semellante. A imaxe homotética dun círculo é un círculo. A imaxe dunha elipse é semellante, é dicir, a razón dos dous eixes non muda.

Con Teorema de Tales

Composición

A composición de dúas homotecias con centros ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ e ratios ${\displaystyle k_{1}=2,k_{2}=0{.}3}$ mapeando ${\displaystyle P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}}$ é unha homotecia de novo co seu centro ${\displaystyle S_{3}}$ na liña ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ con proporción ${\displaystyle k\cdot l=0{.}6}$ .

• A composición de dúas homotecias co mesmo centro ${\displaystyle S}$ volve ser unha homotecia co centro ${\displaystyle S}$ . As homotecias con centro ${\displaystyle S}$ formar un grupo.
• A composición de dúas homotecias con centros diferentes ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ e as súas razóns ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ resulta en

en caso de ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$ unha homotecia co centro na liña ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ e proporción ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ou

en caso de ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ unha translación na dirección ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$. Sobre todo, se ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$ (reflexións centrais).

Composición con translación

• A composición dunha homotecia e dunha translación é unha homotecia.

Demostración:

A composición da homotecia

${\displaystyle \sigma$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;} e a translación

${\displaystyle \tau$ :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} } é

${\displaystyle \tau \sigma$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

que é unha homotecia con centro ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$ e razón ${\displaystyle k}$.

En coordenadas homoxéneas

A homotecia ${\displaystyle \sigma$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )} con centro ${\displaystyle S=(u,v)}$ pódese escribir como a composición dunha homotecia con centro ${\displaystyle O}$ e unha translación:

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$ .

De aí que ${\displaystyle \sigma }$ pódese representar en coordenadas homoxéneas pola matriz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Unha transformación linear de homotecia pura tamén é conforme porque está composta por translación e escala uniforme.