Intersección (conxuntos)

En teoría de conxuntos, a intersección de dous conxuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B,}$ denotado como ${\displaystyle A\cap B,}$^[1] é o conxunto que contén todos os elementos de ${\displaystyle A}$ que tamén pertencen a ${\displaystyle B}$ ou viceversa.^[2]

Notación e terminoloxía

A intersección escríbese co símbolo "${\displaystyle \cap }$" entre os conxuntos, en notación infixa. Por exemplo:$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$$${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$A intersección de máis de dous conxuntos (intersección xeneralizada) pódese escribir como:$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$.

Definición

Intersección de tres conxuntos:
${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$

Exemplo de intersección con conxuntos

A intersección de dous conxuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B,}$ denotado como ${\displaystyle A\cap B}$,^[3] é o conxunto de todos os obxectos que son membros de ambos os dous conxuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B.}$ Con símbolos:$${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$É dicir, ${\displaystyle x}$ é un elemento da intersección ${\displaystyle A\cap B}$ se e só se ${\displaystyle x}$ é tanto un elemento de ${\displaystyle A}$ e un elemento de ${\displaystyle B.}$ ^[3]

Por exemplo:

• A intersección dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {2, 3}.
• O número 9 non está na intersección do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} e do conxunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 non é primo.

Conxuntos intersecantes e disxuntos

Dicimos que ${\displaystyle A}$ intersecta a ${\displaystyle B}$ se existe algún ${\displaystyle x}$ que é un elemento tanto de ${\displaystyle A}$ como de ${\displaystyle B}$, nese caso tamén dicimos que ${\displaystyle A}$ interxecta a ${\displaystyle B}$. De forma equivalente, ${\displaystyle A}$ intersecta a ${\displaystyle B}$ se a súa intersección ${\displaystyle A\cap B}$ é un conxunto con algún elemento, expresado tamén como que existe algún ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle x\in A\cap B.}$

Dicimos que ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ son disxuntos se ${\displaystyle A}$ non se cruza con ${\displaystyle B.}$ En linguaxe sinxela, non teñen elementos en común. ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ son disxuntos se a súa intersección é baleiro, denotado ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Por exemplo, os conxuntos ${\displaystyle \{1,2\}}$ e ${\displaystyle \{3,4\}}$ son disxuntos, mentres que o conxunto de números pares cruza o conxunto de múltiplos de 3 en múltiplos de 6.

Propiedades alxébricas

A intersección binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto ${\displaystyle A,B,}$ e ${\displaystyle C,}$ temos$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$Así, as parénteses poden omitirse sen ambigüidade: calquera das anteriores pódese escribir como ${\displaystyle A\cap B\cap C}$. A intersección tamén é conmutativa. É dicir, para calquera ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B,}$ un ten$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$A intersección de calquera conxunto co conxunto baleiro dá como resultado o conxunto baleiro; é dicir, que para calquera conxunto ${\displaystyle A}$,$${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$Ademais, a operación de intersección é idempotente; é dicir, calquera conxunto ${\displaystyle A}$ satisfai ${\displaystyle A\cap A=A}$.

A intersección é distributiva en relación á unión e a unión é distributiva en relación á intersección. É dicir, para calquera conxunto ${\displaystyle A,B,}$ e ${\displaystyle C,}$ temos$${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$Dentro dun universo ${\displaystyle U,}$ pódese definir o complemento ${\displaystyle A^{c}}$ de ${\displaystyle A}$ como o conxunto de todos os elementos de ${\displaystyle U}$ que non están en ${\displaystyle A.}$ Ademais, a intersección de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ poden escribirse como o complemento da unión dos seus complementos, obtido facilmente das leis de De Morgan:$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

Interseccións arbitrarias

Podemos xeneralizar a intersección a unha colección arbitraria de conxuntos non baleiros. Se ${\displaystyle M}$ é un conxunto non baleiro cuxos elementos son eles mesmos conxuntos, entón ${\displaystyle x}$ é un elemento da intersection de ${\displaystyle M}$ se e só se para cada elemento ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ é un elemento de ${\displaystyle A.}$ Con símbolos:$${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$Tamén pódese escribir como: ${\displaystyle \bigcap M}$, ou ${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$, ou ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i},}$ e a maiores tamén ${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$ = ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$ onde ${\displaystyle I}$ é un conxunto non baleiro, e ${\displaystyle A_{i}}$ é un conxunto para todos ${\displaystyle i\in I}$, tamén pódese escribir como "${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$ ".