Matriz transposta

Sexa ${\displaystyle A}$ unha matriz con ${\displaystyle m}$ filas e ${\displaystyle n}$ columnas. A matriz transposta (ou matriz trasposta) denotada por ${\displaystyle A^{T}}$,^{[1] [2]}

A transposta A^T dunha matriz A pódese obter reflectindo os elementos ao longo da súa diagonal. Repetindo o proceso na matriz transposta devolve os elementos á súa posición orixinal. Así, a transposta da transposta é a matriz orixinal, (A^T)^T = A.

vén dada por:

${\displaystyle (A^{T})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m}$, ^[3]

onde o elemento ${\displaystyle a_{ji}}$ da matriz orixinal ${\displaystyle A}$ convértese no elemento ${\displaystyle a_{ij}}$ da matriz transposta ${\displaystyle A^{T}}$.

Exemplos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

Propiedades

Involutiva

• Para toda matriz ${\displaystyle A}$ ,

${\displaystyle (A^{t})^{t}=A\,}$

Distributiva

• Sexan A e B matrices con elementos nun anel ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e sexa ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}}$ :

${\displaystyle (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\,}$

Linear

${\displaystyle (c\,A)^{t}=c\,A^{t}}$

Outras

• Para o produto usual de matrices ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, temos ${\displaystyle (AB)^{t}=B^{t}A^{t}\,}$

• Si ${\displaystyle A}$ é unha matriz cadrada cuxas entradas son números reais, daquela ${\displaystyle A^{t}A\,}$ é semidefinida positiva.

Definicións asociadas

Unha matriz cadrada ${\displaystyle A}$ é <b id="mwWw">simétrica</b> se coincide coa súa transposta:

${\displaystyle A^{t}=A\,}$

unha matriz cadrada ${\displaystyle A}$ é <b id="mwYg">antisimétrica</b> se a súa transposta coincide coa súa inversa aditiva.

${\displaystyle A^{t}=-A\,}$

Se os elementos da matriz ${\displaystyle A}$ son números complexos e a súa transposta coincide coa súa conxugada, dise que a matriz é hermitiana.

${\displaystyle A^{t}={\bar {A}},\quad A=({\bar {A}})^{t}=A^{\dagger }}$

e antihermítiana se

${\displaystyle A^{t}=-{\bar {A}}}$

Cabe sinalar que se unha matriz é hermitiana (matriz simétrica no caso dunha matriz real), daquela é diagonalizábel e os seus valores propios son reais. (A recíproca é falsa).