Medida (matemáticas)

En matemáticas, o concepto de medida é a xeneralización e formalización das medidas xeométricas e outras nocións como a probabilidade dos sucesos aleatorios. A medida é un concepto fundamental en teoría da medida e teoría da probabilidade.

Un exemplo simple de medida sería un volume.
Informalmente, unha propiedade da medida é ser monótona no sentido de que se ${\displaystyle A}$ é un subconxunto de ${\displaystyle B,}$ a medida de ${\displaystyle A}$ é menor ou igual que a medida de ${\displaystyle B.}$
A maiores, a medida do conxunto baleiro debe ser 0.

Intuitivamente, a medida dun conxunto ou subconxunto é similar á noción de tamaño. Neste sentido, a medición é unha xeneralización dos conceptos de lonxitude,área e volume en espazos de dimensión 1, 2 ou 3 respectivamente.

O estudo de espazos con medidas é o tema da teoría da medida.

Definición

Sexa ${\displaystyle X}$ un conxunto e ${\displaystyle \Sigma }$ unha ${\displaystyle \sigma }$-álxebra de conxuntos de ${\displaystyle X}$. Dada unha aplicación ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$ (ver: recta real estendida), diremos que é unha medida en ${\displaystyle \Sigma }$ se satisfai as seguintes propiedades:^[1]

• ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0.}$
• Dado un conxunto numerable ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma }$ con elementos disxuntos dous a dous, isto é, con ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\emptyset }$ para ${\displaystyle i\neq j}$, entón a medida da unión coincide coa suma das medidas, é dicir, ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n}).}$

Chamamos espazo de medida á terna ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$.

Propiedades das medidas

Dado un espazo de medida ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ temos que

• Dados ${\displaystyle E,F\in \Sigma }$ con ${\displaystyle E\subset F}$, temos que a medida respeta a orde de contidos, isto é, ${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$. Se, ademais, ${\displaystyle \mu (E)<+\infty }$, temos que ${\displaystyle \mu (F\setminus E)=\mu (F)-\mu (E)}$.
• Dados ${\displaystyle E,F\in \Sigma }$, temos que ${\displaystyle \mu (E\cup F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$.
• Dada ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{n}\subset \Sigma }$ unha colección finita de conxuntos, temos que ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{n}E_{k}\right)\leq \sum _{k=1}^{n}\mu \left(E_{k}\right)}$ (Subaditividade finita).
• Dada ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma }$ unha colección numerable de conxuntos non necesariamente disxuntos, temos que ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu \left(E_{n}\right)}$ (Subaditividade numerable).

Exemplos de medidas

• Se ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ e consideramos a ${\displaystyle \sigma }$-álxebra ${\displaystyle \Sigma ={\mathcal {P}}(X)}$, podemos definir a medida dun conxunto ${\displaystyle E\subset \mathbb {N} }$ como o cardinal deste conxunto ${\displaystyle \mu (E)=|E|}$, isto é, o número de elementos de ${\displaystyle E}$ se este é finito ou infinito en caso contrario.
• Chamamos medida exterior dun subconxunto ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{N}}$ como ${\displaystyle m^{*}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{+\infty }{\text{long}}(I_{k})\colon \ E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k},\ {\text{con }}I_{k}{\text{ cela de }}\mathbb {R} ^{N}\ \forall k\in \mathbb {N} \right\}.}$
• A esta medida chamámola medida de Lebesgue en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ cando a definimos sobre o espazo medible ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{N},{\mathcal {L}}\right)}$, onde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ é a ${\displaystyle \sigma }$-álxebra de Lebesgue.