Recta real estendida

En matemáticas, o sistema de números reais estendido obtense a partir do sistema de números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ engadindo dous elementos infinitos: ${\displaystyle +\infty }$ e ${\displaystyle -\infty ,}$ ^[a] onde os infinitos son tratados como números reais. É útil para describir a álxebra sobre infinitos e os distintos comportamentos limitantes en cálculo e análise matemática, especialmente na teoría da medida e da integración.^[1] Denotase o sistema de números reais estendidos ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ou ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}$^[2] É o completamento de Dedekind–MacNeille dos números reais.

Números reais estendidos: a) Números reais estendidos afinmente e b) Números reais estendidos proxectivamente

Cando o significado é claro polo contexto, o símbolo ${\displaystyle +\infty }$ adoita escribirse simplemente como ${\displaystyle \infty .}$^[2]

Tamén está a recta real estendida proxectivamente onde ${\displaystyle +\infty }$ e ${\displaystyle -\infty }$ non se distinguen polo que o infinito denotase só por ${\displaystyle \infty }$ .

Motivación

Límites

Moitas veces é útil describir o comportamento dunha función ${\displaystyle f}$ cando o argumento ${\displaystyle x}$ ou o valor da función ${\displaystyle f}$ faise "infinitamente grande" nalgún sentido. Por exemplo, considere a función ${\displaystyle f}$ definido por

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

A gráfica desta función ten unha asíntota horizontal en ${\displaystyle y=0.}$ Xeométricamente, ao moverse cada vez máis á dereita ao longo do eixo ${\displaystyle x}$, o valor de ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ achégase a 0. Este comportamento limitante é semellante ao límite dunha función ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ no que o número real ${\displaystyle x}$ aproxima a ${\displaystyle x_{0},}$ agás que non hai un número real ao que ${\displaystyle x}$ se aproxime.

Ao engadir os elementos ${\displaystyle +\infty }$ e ${\displaystyle -\infty }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ isto permite a formulación dun "límite ao infinito", con propiedades topolóxicas similares ás de ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Para facer as cousas completamente formais, a definición de secuencias de Cauchy en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ permite definir ${\displaystyle +\infty }$ como o conxunto de todas as secuencias ${\displaystyle (a_{n})}$ de números racionais tal que cada ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ está asociado cun correspondente ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ para o cal ${\displaystyle a_{n}>M}$ para todos ${\displaystyle n>N.}$ A definición de ${\displaystyle -\infty }$ pódese construír de xeito similar.

Medida e integración

Na teoría da medida, adoita ser útil permitir conxuntos que teñen unha medida infinita e integrais cuxo valor pode ser infinito.

Esas medidas xorden naturalmente do cálculo. Por exemplo, ao asignar unha medida a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que concorde coa lonxitude habitual dos intervalos, esta medida debe ser maior que calquera número real finito. Ademais, ao considerar integrais impropias, como

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

xorde o valor "infinito". Finalmente, adoita ser útil considerar o límite dunha secuencia de funcións, por exemplo

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$

Sen permitir que as funcións tomen valores infinitos, resultados tan esenciais como o teorema da converxencia monótona e o teorema da converxencia dominada non terían sentido.

Operacións aritméticas

As operacións aritméticas de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ pódense estender parcialmente a ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ do seguinte xeito:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

As expresións ${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$ e ${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$ (chamadas formas indeterminadas ) adoitan quedar sen definir. Estas regras están modeladas nas leis de límites infinitos. Non obstante, no contexto da teoría da probabilidade ou da medida, ${\displaystyle 0\times \pm \infty }$ a miúdo defínese como ${\displaystyle 0.}$^[3]

Varios

Varias funcións pódense estender con continuidade a ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ tomando límites. Por exemplo, pódense definir os puntos extremos das seguintes funcións como:

${\displaystyle \exp(-\infty )=0,}$

${\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}$

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}$

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}$

Tamén se poden eliminar algunhas singularidades. Por exemplo, a función ${\displaystyle 1/x^{2}}$ pódese estender con continuidade a ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ (baixo algunhas definicións de continuidade), estabelecendo o valor en ${\displaystyle +\infty }$ para ${\displaystyle x=0,}$ e ${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle x=+\infty }$ e ${\displaystyle x=-\infty .}$ Por outra banda, a función ${\displaystyle 1/x}$ non se pode estender con continuidade, porque a función se achega a ${\displaystyle -\infty }$ cando ${\displaystyle x}$ aproxima a ${\displaystyle 0}$ dende abaixo, e ${\displaystyle +\infty }$ cando ${\displaystyle x}$ aproxima a ${\displaystyle 0}$ desde arriba, é dicir, a función non converxe ao mesmo valor cando a súa variábel independente tamén se achega ao mesmo elemento do dominio tanto do lado positivo como do negativo.