Multiplicación por un escalar

En matemáticas, a multiplicación por un escalar é unha das operacións básicas que definen un espazo vectorial en álxebra linealr^[1][2][3] (ou máis xeralmente, un módulo en álxebra abstracta^[4][5]).

A multiplicación escalar dun vector por un factor de 3 estira o vector.

As multiplicacións escalares − a e 2a dun vector a

En contextos xeométricos comúns, a multiplicación escalar dun vector euclidiano real por un número real positivo multiplica a magnitude do vector sen mudar a súa dirección.

A multiplicación escalar é a multiplicación dun vector por un escalar (onde o produto é un vector), e debe distinguirse do produto escalar ou produto interno de dous vectores (onde o produto é un escalar).

Definición

En xeral, se K é un corpo e V é un espazo vectorial sobre K, entón a multiplicación escalar é unha función de K × V en V. O resultado de aplicar esta función a k en K e v en V denotase k v.

Propiedades

A multiplicación escalar obedece ás seguintes regras (vector en grosa):

• Aditividade no escalar: (c + d)v = cv + dv;
• Aditividade no vector: c(v + w) = cv + cw;
• Compatibilidade do produto de escalares coa multiplicación escalar: (cd) v = c(dv);
• Multiplicando por 1 non muda un vector: 1 v = v;
• Multiplicando por 0 dáse o vector cero: 0v = 0;
• Multiplicando por −1 dáse a inversa aditiva: (−1) v = − v.

Multiplicación escalar de matrices

A multiplicación escalar pola esquerda dunha matriz A cun escalar λ dá outra matriz do mesmo tamaño que A. Desígnase por λA, cuxas entradas de λA están definidas por

${\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,}$

explicitamente:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

Do mesmo xeito, aínda que non hai unha definición amplamente aceptada, a multiplicación escalar pola dereita dunha matriz A cun escalar λ podería definirse como

${\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}$

Cando as entradas da matriz e dos escalares son do mesmo corpo conmutativo, por exemplo, o corpo numérico real ou o corpo numérico complexo, estas dúas multiplicacións son iguais e pódense denominar simplemente multiplicación escalar. Para matrices sobre un corpo máis xeral que non é conmutativo, poden non ser iguais.

Para un escalar e unha matriz real:

${\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}$

Para matrices e escalares de cuaternións:

${\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

onde i, j, k son as unidades de cuaternións. A non conmutatividade da multiplicación de cuaternións impide mudar ij = +k a ji = −k.