Rango (función)

En matemáticas, o rango dunha función pode referirse a calquera dos dous conceptos estreitamente relacionados:

• o codominio da función, ou
• a imaxe da función.

${\displaystyle f}$ é unha función do dominio X ao codominio Y. O óvalo amarelo dentro de Y é a imaxe de ${\displaystyle f}$. Ás veces "rango" refírese á imaxe e ás veces ao codominio.

Nalgúns casos o codominio e a imaxe dunha función son o mesmo conxunto; tal función chámase sobrexectiva ou onto. Para calquera función non sobrexectiva ${\displaystyle f:X\to Y,}$ o codominio ${\displaystyle Y}$ e a imaxe ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ son diferentes; non obstante, pódese definir unha nova función coa imaxe da función orixinal como o seu codominio, ${\displaystyle {\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}}$ onde ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x).}$ Esta nova función é sobrexectiva.

Definicións

Dados dous conxuntos X e Y, unha relación binaria f entre X e Y é unha función (de X a Y ) se para cada elemento x en X hai exactamente un y en Y tal que f relaciona x con y. Os conxuntos X e Y chámanse dominio e codominio de f, respectivamente. A imaxe da función f é o subconxunto de Y composto só por aqueles elementos y de Y tal que hai polo menos un x en X con f(x) = y.

Elaboración e exemplo

Dada unha función

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

con dominio ${\displaystyle X}$, o rango de ${\displaystyle f}$, ás veces denotado ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$ ou ${\displaystyle \operatorname {Range} (f)}$,^[1] pode referirse ao codominio ou ao conxunto de destinos ${\displaystyle Y}$ (é dicir, o conxunto no que toda saída de ${\displaystyle f}$ está obrigada a chegar), ou a ${\displaystyle f(X)}$, a imaxe do dominio de ${\displaystyle f}$ baixo ${\displaystyle f}$ (é dicir, o subconxunto de ${\displaystyle Y}$ composto por todas as saídas dadas de ${\displaystyle f}$). A imaxe dunha función é sempre un subconxunto do codominio da función.^[2]

Como exemplo dos dous usos diferentes, considere a función ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ como se usa na análise real (é dicir, como función que introduce un número real e saca o seu cadrado). Neste caso, o seu codominio é o conxunto de números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mais a súa imaxe é sómente o conxunto de números reais non negativos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, xa que ${\displaystyle x^{2}}$ nunca é negativo se ${\displaystyle x}$ é real. Para esta función, se usamos "rango" para significar codominio, refírese a ${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$; se usamos "rango" para significar imaxe, refírese a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.