Símbolos de Christoffel

En matemáticas e física, os símbolos de Christoffel, así nomeados por Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), son expresións en coordenadas espaciais empregadas para describir unha conexión sobre unha variedade. Principalmente son usadas para describir a conexión de Levi-Civita derivada do tensor métrico dunha variedade riemanniana ou pseudo-riemanniana. É moi habitual empregar os símbolos de Christoffel cando se fan cálculos teóricos que implican xeometría. Ademais, a notación formal (sen índices) para a conexión de Levi-Civita, é elegante e permite que os teoremas sexan establecidos dun modo breve, pero resultan pouco prácticos, en xeral, para realizar cálculos.

Os símbolos de Christoffel úsanse para realizar cálculos en coordenadas. Por exemplo, para derivación (covariante) de vectores ou tensores en xeral. En particular, o tensor de curvatura (riemanniano) pode expresarse en termos dos símbolos de Christoffel e das súas primeiras derivadas parciais.

En relatividade xeral, as conexións xogan un papel nos campos de forzas gravitacionais onde o potencial gravitacional actúa como tensor métrico.

Definición

Sexa ${\displaystyle (M,\nabla )}$ unha variedade diferenciable cunha conexión ${\displaystyle \nabla }$ e sexan ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})}$ coordenadas locais en ${\displaystyle M}$. Se denotamos a derivada parcial na dirección de ${\displaystyle x^{i}}$ por ${\displaystyle \partial x^{i}}$, definimos os símbolos de Christoffel da conexión ${\displaystyle \nabla }$ como as funcións ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{l}(x^{1},\dots ,x^{n})}$ tales que

${\displaystyle \nabla _{\partial {x^{i}}}\partial {x^{j}}=\Gamma _{ij}^{\ell }{\partial x^{\ell }}}$.[1]

Ademais esta definición é independente do criterio de singo que se elixa para a curvatura.

Xeometría riemanniana (e pseudo-riemanniana)

Sexa ${\displaystyle (M,g)}$ unha variedade (pseudo-)riemanniana e sexan ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})}$ unhas coordenadas locais de ${\displaystyle M}$. Así, o tensor métrico ${\displaystyle g}$ exprésase en coordenadas como${\displaystyle g(x^{1},\dots ,x^{n})=g_{ij}(x^{1},\dots ,x^{n})dx^{i}\otimes dx^{j}}$.

Definimos os símbolos de Christoffel de primeira especie en ${\displaystyle p}$ por:

${\displaystyle \Gamma _{ijl}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{lj}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}$ 

A partir dos anteriores, definimos os símbolos de Christoffel de segunda especie por:  

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=g^{kl}\Gamma _{ijl}.}$

Deste xeito, verifícase que ${\displaystyle \nabla _{\partial {x^{i}}}\partial {x^{j}}=\Gamma _{ij}^{\ell }{\partial x^{\ell }}}$, onde ${\displaystyle \nabla }$ denota a conexión de Levi-Civita de ${\displaystyle (M,g)}$.