Variedade (xeometría)

Nas matemáticas, unha variedade é o obxecto xeométrico que xeneraliza a noción intuitiva de curva (1-variedade) e de superficie (2-variedade) a calquera dimensión e sobre corpos diversos (non necesariamente o dos reais); máis formalmente, pódese dicir que unha variedade de dimensión n é un espazo que se parece localmente a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Nunha esfera, a suma dos ángulos dun triángulo non é igual a 180°, pois a superficie dunha esfera non é un espazo euclidiano. Porén, localmente, as leis da xeometría euclidiana son boas aproximacións. Este exemplo ilustra como a esfera pode representarse por unha colección de mapas bidimensionais. A esfera é, polo tanto, unha variedade, en concreto, unha variedade riemanniana.

Máis concretamente, en topoloxía, unha variedade é un espazo topolóxico que se asemella localmente ao espazo euclidiano preto de cada punto. Unha variedade ${\displaystyle n}$-dimensional, ou ${\displaystyle n}$-variedade para abreviar, é un espazo topolóxico coa propiedade de que cada punto ten unha veciñanza que é homeomorfo a un subconxunto aberto dun espazo euclidiano ${\displaystyle n}$-dimensional.

As variedades unidimensionales inclúen liñas e circunferencias, pero non curvas de auto-cruzamento como a lemniscata. As variedades bidimensionais tamén se denominan superficies. Os exemplos inclúen o plano, a esfera e o toro, e tamén a botella de Klein e o plano proxectivo real.

As variedades pódense equipar cunha estrutura adicional. Unha clase importante de variedades son as variedades diferenciábeis; a súa estrutura diferenciábel permite que se faga cálculo. Unha métrica riemanniana nunha variedade permite medir distancias e ángulos. As variedades simplecticas serven como espazo de fases no formalismo hamiltoniano da mecánica clásica, mentres que aa variedade lorentzianas de catro dimensións modela o espazo-tempo na relatividade xeral.

Hai varios tipos de variedades, de acordo coas propiedades que posúen. As mais usuais son as variedades topolóxicas e as variedades diferenciábeis. As variedades son de interese no estudo da xeometría, da topoloxía, e da análise.

Motivación

Considérese a opinión de que a Terra é plana en contraste coa evidencia moderna de que é aproximadamente esférica. A discrepancia vén esencialmente do feito de que nas escalas pequenas que vemos a terra parecer ser plana. Xeneralizando, calquera obxecto que sexa case "plano" en escalas pequenas é unha variedade. As variedades constitúen unha xeneralización dos obxectos que poden ser considerados planos, arredor dun punto dado.

Construción xeral

Catro cartas dun círculo.

A idea xeral común aos varios tipos de variedades consiste na descomposición dun conxunto en varios anacos do mesmo tipo, de modo que estes anacos se xunten ben.

Formalmente, considérese un espazo topolóxico ${\displaystyle X\,}$ e un grupo ${\displaystyle G\,}$ de homeomorfismos de abertos de ${\displaystyle X\,}$. Unha variedade modelada no par ${\displaystyle (X,G)\,}$ é un espazo topolóxico ${\displaystyle M\,}$ dotado dun conxunto de homeomorfismos ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\rightarrow V_{i}}$, onde ${\displaystyle U_{i}\,}$ e ${\displaystyle V_{i}\,}$ son abertos de ${\displaystyle M\,}$ e ${\displaystyle X\,}$, respectivamente tales que:

• ${\displaystyle \cup _{i}U_{i}=M}$
• se ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$, entón ${\displaystyle \phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\in G}$

Cada función ${\displaystyle \phi _{i}\,}$ é chamada unha carta, e a colección de todas as cartas chámase atlas.

Clases de variedades

A lemniscata (coa topoloxía herdada do plano) non é unha variedade, pois na veciñanza do punto dobre parécese a unha cruz.

Existen diversas variantes, empregadas segundo o dominio particular considerado:

• Variedades diferenciábeis: son como as superficies lisas (sen puntos angulosos) e xeralmente reais. Nelas pódense definir en calquera punto vectores (ou planos) tanxentes; empréganse na teoría dos grupos de Lie o cálculo diferencial sobre espazos topolóxicos máis xerais (que se empregan por exemplo en mecánica). Unha variedade diferenciábel é unha xeneralización dunha variedade topolóxica que traduce a idea de diferenciabilidade. É unha variedade modelada no par ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mbox{Difeo}}(\mathbb {R} ^{n}))}$, onde ${\displaystyle {\mbox{Difeo}}(\mathbb {R} ^{n})}$ é o conxunto dos difeomorfismos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Variedades alxébricas: son curvas ou superficies definidas como raíces de polinomios de varias variábeis xeralmente complexas;
• Variedades aritméticas: son casos particulares de variedades alxébricas, máis especializadas, para as aplicacións orientadas á teoría de números. O cuerpo de referencia é o dos números racionais, ou unha das súas extensións.
• Unha variedade topolóxica é unha variedade modelada no par ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mbox{Homeo}}(\mathbb {R} ^{n}))}$, onde ${\displaystyle {\mbox{Homeo}}(\mathbb {R} ^{n})}$ é o conxunto dos homeomorfismos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Noutras palabras, unha variedade topolóxica é un espazo topolóxico que localmente é similar a un espazo euclidiano.
• Na xeometría de Riemann, unha variedade de Riemann é unha variedade diferenciábel real na que cada espazo tanxente se equipa cun produto interior de xeito que varíe suavemente de punto a punto. Isto permite que se definan varias nocións métricas como lonxitude de curvas, ángulos, áreas ou volumes), curvatura, gradiente de funcións e diverxencia de campos vectoriais.

Dimensión

As variedades de dimensión 1 e 2 teñen nomes especiais. Así,

• unha variedade de dimensión 1 chámase curva;
• unha variedade de dimensión 2 chámase superficie.

Exemplos

O exemplo básico dunha variedade é o propio espazo euclidiano; moitas das súas propiedades recaen sobre as variedades. Alén diso, todo o límite plano dun subconxunto do espazo euclidiano, como o círculo ou a esfera, é unha variedade.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teoría das variedades
• 1-forma