Segmento

Un segmento, na xeometría, é un fragmento de recta que está comprendido entre dous puntos.

Así, dados dous puntos A e B, chámase segmento AB á intersección da semirrecta de orixe A que contén ao punto B, e a semirrecta de orixe B que contén o punto A. Os puntos A e B denomínanse extremos do segmento, e os puntos da recta á que pertence o segmento (recta sostén), serán interiores ou exteriores ao segmento segundo pertenzan ou non a este, e dicir, sexan coñecibles ou non.

A lonxitude dun segmento no plano euclideano se temos que as coordenadas dos puntos extremos son ${\displaystyle A=(x_{a},y_{a}),B=(x_{b},y_{b})}$ sería:

${\displaystyle L={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}}$,

que se deduce facilmente do teorema de Pitágoras.

Por exemplo, para un segemento que vaia desde a orixe ${\displaystyle (x=0,y=0)}$do plano ata o punto :${\displaystyle (x=3,y=4)}$ temos :${\displaystyle L={\sqrt {(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}}={\sqrt {9+16}}=5}$.

En espazos vectoriais reais ou complexos

Se V é un espazo vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ e L é un subconxunto de V, entón L é un segmento de recta se L pode parametrizarse como

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}$

para algúns vectores ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ onde v é distinto de cero. Os extremos de L son entón os vectores u e u + v.

Ás veces, é necesario distinguir entre segmentos de recta "abertos" e "pechados". Neste caso, definiríase un segmento de liña pechado como se indicou anteriormente e un segmento de liña aberto como un subconxunto L que se pode parametrizar como

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}$ (aquí o intervalo (0, 1) está aberto).

para algúns vectores ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V.}$

De xeito equivalente, un segmento de liña é a envolvente convexa de dous puntos. Polo tanto, o segmento de recta pódese expresar como unha combinación convexa dos dous puntos extremos do segmento.

En xeometría, poderíase definir o punto B como situado entre outros dous puntos A e C, se a distancia |AB| engadida á distancia |BC| é igual á distancia |AC|. Así, en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ o segmento de recta con extremos ${\displaystyle A=(a_{x},a_{y})}$ e ${\displaystyle C=(c_{x},c_{y})}$ é a seguinte colección de puntos:

${\displaystyle {\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.}$

Casos especiais

Un segmento chámase

• Lado se os dous extremos son os vértices adxacentes dun polígono;
• Aresta se os dous extremos son vértices adxacentes dun poliedro;
• Diagonal se os dous extremos son os vértices non adxacentes dun polígono;
• Corda se os dous extremos dunha curva, como por exemplo nunha circunferencia.

Propiedades

• Un segmento de recta é un conxunto conexo e non baleiro.
• Se V é un espazo vectorial topolóxico, entón un segmento de recta pechado é un conxunto pechado en V. No entant, un segmento de recta aberto é un conxunto aberto en V se e só se V é unidimensional.
• De forma máis xeral que a anterior, o concepto de segmento de recta pódese definir nunha xeometría ordenada.
• Nun plano os segmentos de recta poden ser : intersecantes, paralelos, oblicuos non secantes. A última posibilidade é unha forma en que os segmentos de recta difiren das rectas: se dúas rectas non paralelas están no mesmo plano euclidiano, entón deben cruzarse, pero iso non ten por que ser certo para os segmentos.