Conxunto pechado

En topoloxía, un conxunto dise pechado nun espazo se o seu complementario for aberto.

Propiedades

• Un conxunto X é pechado se e só se coincide co seu pechamento, ou sexa, se ${\displaystyle X={\overline {X}}}$^[1]
• Un conxunto é pechado se e só se contén a súa fronteira.
• A unión dun número finito de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
• A intersección dun número calquera de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
• Calquera conxunto é pechado en si mesmo.
• X é un conxunto pechado se, e só se, o conxunto dos puntos de acumulación de X, denotado por ${\displaystyle X'}$, chamado derivado, estiver contido no propio conxunto X, ou sexa: ${\displaystyle X'\subseteq X}$ (lese: o derivado está contido, é unha parte do conxunto X) ^[2].

Exemplos

• Calquera intervalo pechado é un conxunto pechado en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (coa topoloxía usual onde o conxunto dos intervalos abertos forman unha base de abertos para a topoloxía).
• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ son pechados en ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Na topoloxía inducida en ${\displaystyle (0,+\infty )\,}$ pola inclusión en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, o conxunto ]0,1], dos números reais maiores que cero e menores ou iguais a un, é pechado.
• Na topoloxía discreta, todo subconxunto é pechado.
• Se a topoloxía é Hausdorff, todo conxunto unitario (e, por indución, todo conxunto finito) é pechado.
• O conxunto dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o complementario do conxunto aberto ${\displaystyle \varnothing }$, e ${\displaystyle \varnothing }$ é o complementario do aberto ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Entón, estes dous conxuntos son pechados e abertos ao mesmo tempo ^[3].
• Existen conxuntos que non son pechados nin abertos, como o conxunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais, o conxunto ${\displaystyle \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$ ou un intervalo do tipo [a,b) ou (a,b] ^[4].

Definicións alternativas

Os axiomas dunha topoloxía poden ser igualmente formulados a través dunha colección de abertos (a definición usual) ou a través dunha colección de pechados. Neste segundo caso, os abertos son definidos como complementos de pechados.

Outra definición, mais didáctica, é definir un aberto como un conxunto no que todo punto é interior, un pechado cun conxunto que contén todos os seus puntos de acumulación, e demostrar o teorema que abertos e pechados son complementos.