Serie de Taylor

Nas matemáticas, unha serie de Taylor dunha función f(x) infinitamente derivable (real ou complexa) definida nun intervalo aberto (a-r, a+r) defínese do seguinte xeito:

A función exponencial (en azul), e a suma dos primeiros n+1 termos da súa serie de Taylor arredor de cero (en vermello).

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

sin(x) e aproximacións de Taylor centradas en 0, con polinomios de grao 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.

Onde n! é o factorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) indica a n-ésima derivada de f no punto a.

Se esta serie converxe para todo x pertencente ao intervalo (a-r, a+r) e a suma é igual a f(x), entón a función f(x) denomínase analítica. Para comprobar se a serie converxe en f(x), acostúmase empregar unha estimación do resto do teorema de Taylor. Unha función é analítica se e só se se pode representar cunha serie de potencias; os coeficientes desta serie son necesariamente os determinados na fórmula da serie de Taylor.

Se a = 0, a serie denomínase serie de Maclaurin.

Esta representación ten tres vantaxes importantes:

• A derivación e integración dunha destas series pódese realizar termo a termo, que resultan operacións triviais.
• Pódese utilizar para calcular valores aproximados da función.
• É posible demostrar que, se é viable a transformación dunha función nunha serie de Taylor, é a óptima aproximación posible.

Algunhas funcións non se poden escribir como serie de Taylor porque teñen algunha singularidade. Nestes casos normalmente pódese conseguir un desenvolvemento en serie utilizando potencias negativas de x. Por exemplo f(x) = exp(−1/x²) pódese desenvolver como serie de Laurent.

Definición

A serie de Taylor dunha función f de números reais ou complexos que é infinitamente diferenciable nunha contorna de números reais ou complexos a, é a serie de potencias:

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$

que pode ser escrito dunha maneira máis compacta como

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\,,}$

onde n! é o factorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a enésima derivada de f no punto a; a derivada cero de f é definida como a propia f e ${\displaystyle (x-a)^{0}}$ e ${\displaystyle 0!}$ son ambos definidos como un.

Historia

O filósofo eleata Zenón de Elea estudou o problema de sumar unha serie infinita para lograr un resultado finito, pero descartouno por consideralo imposible: o resultado foron os paradoxos de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuxo unha resolución filosófica ao paradoxo, aínda que o contido matemático deste ficou resolto cando retomaron a cuestión Demócrito e despois Arquimedes. Foi a través do método exhaustivo de Arquimedes que un número infinito de subdivisións xeométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.^[1] Independentemente, Liu Hui utilizou un método similar centos de anos despois.^[2]

No século XIV, os primeiros exemplos do uso de series de Taylor e métodos similares foron dados por Madhava de Sangamagrama.^[3] A pesar de que ningún rexistro do seu traballo chegou aos nosos días, escritos de matemáticos hindús posteriores suxiren que el encontrou un número de casos especiais da serie de Taylor, incluídos aqueles para as funcións trigonométricas do seno, coseno, tanxente e arcotanxente.

No século XVII, James Gregory tamén traballou nesta área e publicou varias series de Maclaurin. Pero en 1715 presentouse unha forma xeral para construír estas series para calquera función e foi presentado por Brook Taylor, de quen recibe o seu nome.

As series de Maclaurin foron chamadas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quen publicou o caso especial das series de Taylor no século XVIII.

Series de Maclaurin (Taylor arredor de 0) notables

A función coseno.

Unha aproximación de oitava orde da función coseno no plano dos complexos.

As dúas imaxes de arriba postas xuntas.

A continuación enuméranse algunhas series de Taylor de funcións básicas. Todos os desenvolvementos son tamén válidos para valores complexos de x.

Función exponencial e logaritmo natural

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad ,\forall x;n\in \mathbb {N} _{0}}$.

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1{\mbox{, }}x=1}$.

Serie xeométrica

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Teorema do binomio

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\alpha )}}x^{n}\quad }$ para ${\displaystyle \left|x\right|<1\quad }$

Funcións trigonométricas

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

B_s son os Números de Bernoulli.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \csc {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad {\mbox{, para }}0<\left|{x}\right|<\pi }$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1}$

Funcións hiperbólicas

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<1}$

Función W de Lambert

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|<{\frac {1}{e}}}$

Os números B_k que aparecen nas fórmulas de tan(x) e tanh(x) son Números de Bernoulli. Os valores C(α,n) da fórmula do binomio son os coeficientes binomiais. Os E_k da fórmula de sec(x) son Números de Euler.

Varias variables

A serie de Taylor pódese xeneralizar a funcións de ${\displaystyle d}$ variables:

${\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}=}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}\sum _{n_{1}+\cdots +n_{d}=n}{n \choose n_{1}\cdots n_{d}}{\partial ^{n}f(a_{1},\cdots ,a_{d}) \over \partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}},}$

onde ${\displaystyle {n \choose n_{1}\cdots n_{d}}}$ é un coeficiente multinomial. Como exemplo, para unha función de dúas variables, x e y, a serie de Taylor de segunda orde nun contorno do punto (a, b) é:

${\displaystyle f(x,y)\,}$

${\displaystyle \approx f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)\,}$

${\displaystyle +{\frac {1}{2}}\left(f_{xx}(a,b)(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^{2}\right).}$

Un polinomio de Taylor de segundo grao pode ser escrito de maneira compacta así:

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots }$

onde ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )}$ é o gradiente e ${\displaystyle \nabla ^{2}f(\mathbf {a} )}$ é a matriz hessiana. Outra forma:

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {\mathrm {D} ^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha$ !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}}

Aplicacións

Ademais de para ter funcións polinómicas en lugar de funcións de maior complexidade e poder analizar facilmente o comportamento local dunha función, tamén se pode utilizar para resolver outros problemas como son: a análise de límites e estudos paramétricos dos mesmos, a estimación de números irracionais limitando o seu erro, o teorema de L'Hopital para a resolución de límites indeterminados, o estudo de puntos estacionarios de funcións (máximos ou mínimos relativos ou puntos cadeira de tendencia estritamente crecente ou decrecente), a estimación de integrais, determinación de converxencia e suma dalgunhas series importantes, o estudo da orde e parámetro principal de infinitésimos etc.