Serie harmónica

En matemáticas, a serie harmónica é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$

Os primeiros ${\displaystyle n}$ termos da serie suman aproximadamente ${\displaystyle \ln n+\gamma }$, onde ${\displaystyle \ln }$ é o logaritmo natural e ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral.

Definición e diverxencia

A serie harmónica é a serie infinita

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$na que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps.^[1] Dúas das ^{[2] [1]} máis coñecidas están listadas a continuación.

Proba por comparación

Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2):

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo ${\displaystyle k}$,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$

Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350.^[1] A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento.^[3]

Proba por comparación cunha integral

Os rectángulos, con área dada pola serie harmónica, e a hipérbola ${\displaystyle y=1/x}$ polas esquinas superiores esquerdas destes rectángulos

É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia. Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de ${\displaystyle x}$ do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. No entanto, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente,

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)]_{1}^{\infty }=\infty .}$Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer. ^[1]

Sumas parciais

Sumando os primeiros ${\displaystyle n}$ termos da serie harmónica temos unha suma parcial chamada número harmónico e denotado como ${\displaystyle H_{n}}$:^[4]

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

Valor de n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Valor aprox. de ${\displaystyle H_{n}}$	1	1,5	1,8	2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,25	3,32	3,38	3,44	3,49	3,55	3,60

De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a +∞.

Valor de n	10	${\displaystyle 10^{2}}$	${\displaystyle 10^{3}}$	${\displaystyle 10^{4}}$	${\displaystyle 10^{5}}$	${\displaystyle 10^{6}}$	${\displaystyle 10^{7}}$	${\displaystyle 10^{8}}$	${\displaystyle 10^{9}}$
Valor aprox. de ${\displaystyle H_{n}}$	2,9	5,2	7,5	9,8	12,1	14,4	16,7	19,0	21,3

Taxa de crecemento

Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral.^[5] Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin,

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$ onde ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ é a constante de Euler-Mascheroni e ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}}$ que se achega a 0 cando ${\displaystyle n}$ vai ao infinito.

Interpolación

A función digamma sobre os números complexos

A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que ${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$.^[6] Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais.^[7]

Series relacionadas

Serie harmónica alternada

As primeiras catorce sumas parciais da serie harmónica alterna (segmentos de liña negra) mostradas converxen ao logaritmo natural de 2 (liña vermella).

A serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$coñécese como serie harmónica alternada. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2.^[8]

A expansión asintótica da serie comeza como

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{4n}}+O(n^{-2}).}$Isto resulta da igualdade ${\textstyle H_{n}=2\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k}}}$ e a fórmula de Euler-Maclaurin.

Función zeta de Riemann

A función zeta de Riemann defínese para ${\displaystyle x>1}$ real pola serie converxente

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,}$que para ${\displaystyle x=1}$ sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás ${\displaystyle x=1}$, onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$, que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry ${\displaystyle \zeta (3)}$, que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero.^[9]