Serie de Fourier

En matemáticas, chámase serie de Fourier a unha forma de serie trigonométrica utilizada para representar funcións infinitas e periódicas complexas dos procesos físicos, na forma de funcións trigonométricas simples de senos e cosenos.^[1] Isto resulta nunha simplificación da visualización e manipulación de funcións complexas. Foi creada en 1807 por Joseph Fourier (1768-1830).

Os primeiros catro termos da serie de Fourier dunha onda cadrada

A forma xeral da serie é:^[2]

${\displaystyle y(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname {sen} (nx)\right],}$ onde ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Definición

A serie de Fourier dunha función periódica de valores complexos ${\displaystyle s(x)}$, integrábel sobre o intervalo ${\displaystyle [0,P]}$ na recta real, defínese como unha serie trigonométrica da forma $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$$ tal que os coeficientes de Fourier ${\displaystyle c_{n}}$ son números complexos definidos pola integral^[3][4] $${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s(x)\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx.}$$ A serie non converxe necesariamente (no sentido punto por punto) e, aínda que o faga, non é necesariamente igual a ${\displaystyle s(x)}$.

Só cando se cumpren certas condicións (por exemplo, se ${\displaystyle s(x)}$ é continuamente diferenciábel) a serie de Fourier converxe a ${\displaystyle s(x)}$, é dicir, $${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$$

O proceso de determinación dos coeficientes de Fourier dunha determinada función ou sinal chámase análise, mentres que a formación da serie trigonométrica asociada (ou as súas diversas aproximacións) chámase síntese.

Síntese

Unha serie de Fourier pódese escribir en varias formas equivalentes, mostradas aquí como ${\displaystyle N}$ sumas parciais ${\displaystyle s_{N}(x)}$ da serie de Fourier de ${\displaystyle s(x)}$:^[5]

Imaxe 1. O gráfico superior mostra unha función non periódica ${\displaystyle s(x)}$ en azul definida só sobre o intervalo vermello de 0 a P. A función pódese analizar neste intervalo para producir a serie de Fourier no gráfico inferior. A serie de Fourier é sempre unha función periódica, aínda que a función orixinal ${\displaystyle s(x)}$ non o sexa.

Forma Seno-coseno

${\displaystyle s_{N}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+b_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)}$

(Ec.1)

Forma Exponencial

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}}$

(Ec.2)

Os harmónicos están indexados por un número enteiro, ${\displaystyle n,}$ que tamén é o número de ciclos que realizan os sinusoides correspondentes no intervalo ${\displaystyle P}$. Polo tanto, os sinusoides teñen :

• unha lonxitude de onda igual a ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$ nas mesmas unidades que ${\displaystyle x}$.
• unha frecuencia igual a ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ nas unidades recíprocas de ${\displaystyle x}$.

Estas series poden representar funcións que son só unha suma dunha ou máis frecuencias no espectro harmónico (espectro que contién unicamente compoñentes de frecuencia cuxas frecuencias son múltiplos enteiros da frecuencia fundamental).

No límite ${\displaystyle N\to \infty }$, unha serie trigonométrica tamén pode representar as frecuencias intermedias e/ou funcións non sinusoidais debido ao número infinito de termos.

Análise

En xeral, os coeficientes están determinados pola análise dunha función dada ${\displaystyle s(x)}$ cuxo dominio de definición é un intervalo de lonxitude ${\displaystyle P}$.^[a][6]

Coeficientes de Fourier

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx&\\&a_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\textrm {para}}~n\geq 1\\&b_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx,\ &{\text{para}}~n\geq 1\\\end{aligned}}}$

(Ec.3)

O factor de escala ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ dedúcese ao substituír a Ec.1 por Ec.3 e utilizar a ortogonalidade do sistema trigonométrico.^[7]

A equivalencia da Ec.1 e a Ec.2 dedúcese da Fórmula de Euler $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}$$ resultando en:

Coeficientes da forma Exponencial

${\displaystyle c_{n}={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{se }}n>0,\\a_{n}&{\text{se }}n=0,\\{\tfrac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})&{\text{se }}n<0,\\\end{cases}}}$

con ${\displaystyle c_{0}}$ sendo o valor medio de ${\displaystyle s}$ no intervalo ${\displaystyle P}$.^[8]

De xeito recíproco:

Relacións inversas

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}&\\a_{n}&=c_{n}+c_{-n}\qquad &{\textrm {para}}~n>0\\b_{n}&=i(c_{n}-c_{-n})\qquad &{\textrm {para}}~n>0\end{aligned}}}$

Exemplo

Gráfica de onda dente de serra, unha continuación periódica da función linear ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ no intervalo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Trama animada dos cinco primeiros termos sucesivos da serie de Fourier

Considere unha función de dente de serra: $${\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {para} -\pi <x<\pi ,{\text{ e }}k\in \mathbb {Z} .}$$ Neste caso, os coeficientes de Fourier veñen dados por $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=0.\\a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$$ Pódese demostrar que a serie de Fourier converxe a ${\displaystyle s(x)}$ en cada punto ${\displaystyle x}$ onde ${\displaystyle s}$ é diferenciábel, e polo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}sin\left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {cando} \ (x-\pi )\ {\text{non é múltiplo de}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$$

Cando ${\displaystyle x=\pi }$, a serie de Fourier converxe a 0, que é a media do límite esquerdo e dereito de ${\displaystyle s}$ en ${\displaystyle x=\pi }$. Este é un exemplo particular do Teorema de Dirichlet para as series de Fourier.

Este exemplo leva a unha solución do problema de Basilea.

Aplicacións

Enxeñaría

É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,e^{-in\omega \,t}\,dt.}$

Polo tanto:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}\,e^{in\omega \,t}}$

Táboa das series de Fourier comúns

Na seguinte táboa móstranse algúns pares comúns de funcións periódicas e os seus coeficientes da serie de Fourier.

• ${\displaystyle s(x)}$ designa unha función periódica con período ${\displaystyle P.}$
• ${\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}}$ designan os coeficientes da serie de Fourier (forma seno-coseno) da función periódica ${\displaystyle s(x).}$

Dominio do Tempo ${\displaystyle s(x)}$	Gráfica	Dominio da Frecuencia (forma seno-coseno) ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	Notas	Referencia
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ par}}\\0&\quad n{\text{ impar}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	Seno onda completa rectificada	[9]:p. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{para }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{para }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ par}}\\0&\quad n{\text{ impar}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	Seno media onda rectificada	[9]:p.193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{para }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[9]:p.192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{fpara }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[9]:p.192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{fpara }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[9]:p.193

Táboa de regras básicas de transformación

Véxase tamén: Transformada de Fourier#Propiedades básicas.

Esta táboa mostra algunhas operacións matemáticas no dominio do tempo e o efecto correspondente nos coeficientes da serie de Fourier. Notación:

• A conxugación complexa denotase cun asterisco.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$ designan funcións periódicas ${\displaystyle P}$ ou funcións definidas só para ${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$ designan os coeficientes da serie de Fourier (forma exponencial) de ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle r.}$

Propeiedade	Dominio Tempo	Dominio Frecuencia (forma exponencial)	Notas	Referencia
Linearidade	${\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
Oposto do tempo / Oposto en frecuencia	${\displaystyle s(-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$		[10]:p. 610
Conxugación do Tempo	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$		[10]:p. 610
Oposto & conxugación do Tempo	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
Parte real en Tempo	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}$
Parte imaxinaria en Tempo	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
Parte real en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
Parte imaxinaria en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
Desprazamento en tempo / Modulación en frecuencia	${\displaystyle s(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$	[10]:p.610
Desprazamento en frecuencia / Modulación en Tempo	${\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$	[10]:p. 610

Propiedades

Relacións de simetría

Cando as partes reais e imaxinarias dunha función complexa se descompoñen nas súas partes pares e impares, hai catro compoñentes, indicados a continuación polos subíndices RE, RO, IE e IO. E hai unha correspondencia un a un entre as catro compoñentes complexas dunha función no tempo e das catro compoñentes complexas da súa transformanda en frecuencia:^[11][12]

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Dominio\ Tempo}}&s&=&s_{\mathrm {RE} }&+&s_{\mathrm {RO} }&+&i\ s_{\mathrm {IE} }&+&i\ s_{\mathrm {IO} }\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Dominio\ Frecuencia}}&S&=&S_{\mathrm {RE} }&+&i\ S_{\mathrm {IO} }\,&+&i\ S_{\mathrm {IE} }&+&S_{\mathrm {RO} }\end{array}}}$

A partir diso, aparecen varias relacións, por exemplo :

• A transformada dunha función con valores reais ${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+s_{\mathrm {RO} })}$ é a dunción conxugada simétrica]] ${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+i\ S_{\mathrm {IO} }.}$. E o recíproco tamén se cumpre.
• A transformada dunha función con valores imaxinarios ${\displaystyle (i\ s_{\mathrm {IE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$ é a función conxugada antisimétrica ${\displaystyle S_{\mathrm {RO} }+i\ S_{\mathrm {IE} },}$E o recíproco tamén se cumpre.

De forma similar interprétase o resto do diagrama.

Lema de Riemann-Lebesgue

Artigo principal: Lema de Riemann-Lebesgue.

Se ${\displaystyle S}$ é integrábel, ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$, ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ e ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Teorema de Parseval

Artigo principal: Teorema de Parseval.

Se ${\displaystyle s}$ pertence a ${\displaystyle L^{2}(P)}$ (periódica nun intervalo de lonxitude ${\displaystyle P}$), entón: $${\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }\ {\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$$

Teorema de Plancherel

Artigo principal: Teorema de Plancherel.

Se ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$ son coeficientes e ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ entón hai unha función ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$ única tal que ${\displaystyle S[n]=c_{n}}$ para todo ${\displaystyle n}$.

Teoremas de convolución

Artigo principal: Teorema de convolución).

Dadas as funcións periódicas de período ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle s_{P}}$ e ${\displaystyle r_{P}}$ cos coeficientes da serie de Fourier ${\displaystyle S[n]}$ e ${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• O produto punto por punto: $${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq s_{P}(x)\cdot r_{P}(x)}$$ tamén é ${\displaystyle P}$-periódico, e os seus coeficientes da serie de Fourier veñen dados pola convolución discreta das secuencias ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle R}$ : $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• A convolución periódica: $${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq \int _{P}s_{P}(\tau )\cdot r_{P}(x-\tau )\,d\tau }$$ tamén é ${\displaystyle P}$-periódica, co coeficientes da serie de Fourier:$${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Unha sucesión dobremente infinita ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$ en ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$ é a secuencia de coeficientes de Fourier dunha función en ${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$ se é só se é unha convolución de dúas secuencias en ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$. Ver ^[13]

Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que as "funcións base" e^ikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

1. Se ${\displaystyle g(x)=f(x-y)}$ daquela ${\displaystyle {\hat {g}}(k)=e^{-iky}{\hat {f}}(k)}$
2. A transformada de Fourier é un morfismo: ${\displaystyle (f*g){\hat {}}(k)={\hat {f}}(k){\hat {g}}(k)}$—isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Formulación xeral

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións e^{i n x}.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.