Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier, bautizada en homenaxe a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é unha transformada integral que expresa unha función en termos de funcións de base sinusoidal, i.e., como suma ou integral de funcións sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existen diversas variacións directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de función a transformar.

A transformada de Fourier relaciona o dominio do tempo, en vermello, cunha función no dominio da frecuencia, en azul. As frecuencias compoñentes, estendidas por todo o espectro de frecuencias, móstranse como picos no dominio da frecuencia..

Na análise, a transformada de Fourier é unha extensión, para funcións non periódicas, da expansión en serie de Fourier de funcións periódicas. A transformada de Fourier asóciase con calquera función integrábel definida en ℝ e con valores reais ou complexos, outra función en ℝ chamada transformada de Fourier cuxa variábel independente pode interpretarse en física como a frecuencia ou a pulsación.

Aplicacións

As transformadas de Fourier teñen moitas aplicacións en disciplinas científicas — en Física, Teoría dos números, Análise combinatoria, Procesamento de sinal, Teoría das probabilidades, Estatística, Criptografía, Acústica, Oceanografía, Óptica, Xeometría e outras áreas. Nos campos relacionados co procesamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor un sinal nas súas compoñentes en frecuencia e as súas amplitudes.

• As transformadas son operadores lineares e, coa debida normalización, son tamén unarios (unha propiedade coñecida como o teorema de Parseval ou, máis xeralmente, como o teorema de Plancherel, e máis xeral aínda, a dualidade de Pontryagin).
• As transformadas son invertíbeis, e a transformada inversa ten case a mesma forma que a transformada.
• As funcións de base sinusoidal son funcións de diferenciación, o que implica que esta representación transforma ecuacións diferenciais lineares con coeficientes constantes en ecuacións alxebricas ordinarias. (Por exemplo, nun sistema lineal invariante no tempo, a frecuencia é unha cantidade conservada, logo o comportamento en cada frecuencia pode ser resolvido independentemente.)
• A través do teorema de convolución, as transformadas tornan a complicada operación de convolución en multiplicacións simple, o que as torna nun método eficiente de calcular operacións baseadas en convolución, como a multiplicación polinomial e multiplicación de números grandes.
• A versión discreta da transformada de Fourier pode calcularse axiña por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier.

Definición

A transformada de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ é unha operación que transforma unha función integrábel en ℝ noutra función, describindo o espectro de frecuencias desta última. Se f é unha función integrábel en ℝ, a súa transformada de Fourier é a función ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)={\hat {f}}}$ dada pola fórmula^[1]:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f):\xi \mapsto {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\xi x}\,\mathrm {d} x}$.

Convencións alternativas

É posíbel escoller unha definición alternativa para a transformada de Fourier. Esta escolla é unha cuestión de convención cuxas consecuencias se manifestan (en xeral) só mediante factores multiplicativos constantes. Por exemplo, algúns científicos usan^{[Cómpre referencia]} o seguinte xeito:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f):\nu \mapsto {\hat {f}}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}2\pi \nu t}\,\mathrm {d} t}$

con t en segundos e ν a frecuencia (en hercios).

Algúns empregan (por razóns de simetría coa transformada inversa de Fourier) a seguinte transformación^[2] :

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f):\omega \mapsto {\hat {f}}(\omega )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\omega t}\,\mathrm {d} t}$

con t en segundos e ω a pulsación (en radiáns por segundo).

No entanto, esta definición non é axeitada para o tratamento de produtos de convolución: debido ao factor ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$, temos ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)\neq {\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)}$, a menos que se introduza tal factor na definición do produto de convolución.

Transformada continua de Fourier

Xeralmente, a denominación "Transformada de Fourier" reférese á Transformada de Fourier para funcións continuas.

A transformada de Fourier dunha función integrábel (de Lebesgue) de valores complexos ${\displaystyle f(x)}$ na recta real é a función de valores complexos ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$, definida pola integral^[3]

Transformada de Fourier

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} .}$

(Eq.1)

A avaliación da transformada de Fourier para todos os valores de ${\displaystyle \xi }$ produce a función no "dominio da frecuencia", e esta converxe en todas as frecuencias a unha función continua que tende a cero no infinito. Se ${\displaystyle f(x)}$ decae con todas as derivadas, é dicir,

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }f^{(n)}(x)=0,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,}$

entón ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ converxe para todas as frecuencias e, polo lema de Riemann-Lebesgue, ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ tamén decae con todas as derivadas.

Introducido por primeira vez na "Teoría analítica da calor" de Joseph Fourier,^[4][5][6][7] a fórmula de inversión correspondente para as funcións "suficientemente agradábeis" vén dada polo Teorema de inversión de Fourier, é dicir,

Transformada inversa

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\quad \forall \ x\in \mathbb {R} .}$

(Eq.2)

As funcións ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ denomínanse par de transformadas de Fourier.^[8]  Unha notación común para designar pares de transformacións é:^[9]

${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),}$

por exemplo   ${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).}$

Transformada discreta de Fourier

Para uso en computadores, sexa para aplicacións científicas ou en procesamento dixital de sinais, é preciso ter valores ${\displaystyle x_{k}}$ discretos.

A transformada discreta de Fourier (DFT) transforma unha secuencia de N números complexos ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{n}\right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ noutra secuencia de números complexos, ${\displaystyle \left\{\mathbf {X} _{k}\right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$ que se define por:

Transformada discreta de Fourier

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

(Eq.1)

A transformación ás veces denótase co símbolo ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, como en ${\displaystyle \mathbf {X} ={\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x} \right\}}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} \right)}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mathbf {x} }$.^[a]

A Eq.1 pódese interpretar ou derivar de varias maneiras, por exemplo:

• Describe completamente a transformada de Fourier en tempo discreto (DTFT) dunha secuencia ${\displaystyle N}$-periódica, que comprende só compoñentes de frecuencia discretos.^[b] (Usando a DTFT con datos periódicos)
• Tamén pode proporcionar mostras uniformemente espazadas da DTFT continua dunha secuencia de lonxitude finita.
• É a correlación cruzada da secuencia de entrada, ${\displaystyle x_{n}}$, e unha sinusoide complexa na frecuencia ${\textstyle {\frac {k}{N}}.}$ Polo tanto, actúa como un filtro adaptado para esa frecuencia.
• É o análogo discreto da fórmula para os coeficientes dunha serie de Fourier:

  ${\displaystyle C_{k}={\frac {1}{P}}\int _{P}x(t)e^{-i2\pi {\tfrac {k}{P}}t}\,dt.}$

A Eq.1 tamén se pode avaliar fóra do dominio ${\displaystyle k\in [0,N-1]}$, e esa secuencia estendida é ${\displaystyle N}$-periódica. En consecuencia, ás veces utilízanse outras secuencias de índices ${\displaystyle N}$, como ${\textstyle \left[-{\frac {N}{2}},{\frac {N}{2}}-1\right]}$ (se ${\displaystyle N}$ é par) e ${\textstyle \left[-{\frac {N-1}{2}},{\frac {N-1}{2}}\right]}$ (se ${\displaystyle N}$ é impar), o que equivale a trocar as metades esquerda e dereita do resultado da transformación.

A transformación inversa (IDFT) vén dada por:

Transformada inversa

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

(Eq.2)

A Eq.2. tamén é ${\displaystyle N}$-periódica (no índice n).

Na Eq.2, todo ${\displaystyle X_{k}}$ é un número complexo cuxas coordenadas polares son a amplitude e a fase dun compoñente sinusoidal complexo ${\displaystyle \left(e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\right)}$ da función ${\displaystyle x_{n}.}$ (véxase Serie discreta de Fourier) A frecuencia da sinusoide é de ${\displaystyle k}$ ciclos por ${\displaystyle N}$ mostras.

O factor de normalización que multiplica a DFT e a IDFT (aquí 1 e ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$) e os signos dos expoñentes son as convencións máis comúns. Os únicos requisitos reais destas convencións son que a DFT e a IDFT teñan expoñentes de signo oposto e que o produto dos seus factores de normalización sexa ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}.}$

Un método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versión é o algoritmo FFT (fast Fourier transform), cuxo desempeño é O(n log n) contra O(n²) para o mesmo cálculo usando a definición.

Exemplo de transformada discreta

Este exemplo demostra como aplicar a DFT a unha secuencia de lonxitude ${\displaystyle N=4}$ e o vector de entrada

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2-i\\-i\\-1+2i\end{pmatrix}}.}$

Calculando a DFT de ${\displaystyle \mathbf {x} }$ usando a Eq.1

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{0}&=e^{-i2\pi 0\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 0\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=2\\X_{1}&=e^{-i2\pi 1\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 1\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=-2-2i\\X_{2}&=e^{-i2\pi 2\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 2\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=-2i\\X_{3}&=e^{-i2\pi 3\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 3\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=4+4i\end{aligned}}}$

con resultado

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}\\X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-2-2i\\-2i\\4+4i\end{pmatrix}}.}$

Algunhas transformadas de Fourier

${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle F(w)}$
${\displaystyle \delta (t)\,\!}$	${\displaystyle 1\,\!}$
${\displaystyle \delta (t-a)\,\!}$	${\displaystyle e^{-iaw}\,\!}$
${\displaystyle u(t)\,\!}$	${\displaystyle \pi \delta (w)+{\frac {1}{iw}}\,\!}$
${\displaystyle 1\,\!}$	${\displaystyle 2\pi \delta (w)\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {sgn} (t)\,\!}$	${\displaystyle {\frac {2}{iw}}\,\!}$
${\displaystyle e^{iw_{0}t}\,\!}$	${\displaystyle 2\pi \delta (w-w_{0})\,\!}$
${\displaystyle \cos w_{0}t\,\!}$	${\displaystyle \pi (\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0}))\,\!}$
${\displaystyle \sin w_{0}t\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{i}}(\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0}))\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {rect} (t/a)\,\!}$	${\displaystyle a\operatorname {sinc} (wa/2)\,\!}$
${\displaystyle \cos(w_{0}t)u(t)\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}(\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0}))+{\frac {iw}{w_{0}^{2}-w^{2}}}\,\!}$
${\displaystyle \sin(w_{0}t)u(t)\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2i}}(\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0}))+{\frac {iw}{w_{0}^{2}-w^{2}}}\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {rect} (t/a)\cos(w_{0}t)\,\!}$	${\displaystyle {\frac {a}{t}}\left(\operatorname {sinc} {\frac {(w-w_{0})a}{2}}+\operatorname {sinc} {\frac {(w+w_{0})a}{2}}\right)\,\!}$
${\displaystyle {\frac {b}{\pi }}\operatorname {sinc} (bt)\,\!}$	${\displaystyle \operatorname {rect} (w/2b)\,\!}$
${\displaystyle e^{-at}u(t),\operatorname {Re} (a)>0\,\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+iw}}\,\!}$
${\displaystyle 1t^{n-1}e^{-at}u(t),\operatorname {Re} (a)>0\,\!}$	${\displaystyle {\frac {(n-1)!}{(a+iw)^{n}}}\,\!}$
${\displaystyle e^{a|t|},\operatorname {Re} (a)>0\,\!}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+w^{2}}}\,\!}$
${\displaystyle e^{-t^{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {\pi }}e^{-w^{2}/4}\,\!}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|t|}}}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{|w|}}}\,\!}$
${\displaystyle {\frac {1}{t^{2}+a^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{a}}e^{a|w|}\,\!}$