Sucesión de Cauchy

En matemáticas, unha sucesión de Cauchy é unha sucesión tal que para calquera distancia dada, por moi pequena que esta sexa (denotada habitualmente pola letra ε, un número real positivo arbitrariamente pequeno), sempre se pode atopar un termo da sucesión tal que a distancia entre dous termos calesquera posteriores é menor que a dada^[1]. É importante non confundir as sucesións de Cauchy coas sucesións nas que a distancia entre dous termos consecutivos é cada vez menor, pois estas últimas non son converxentes necesariamente.

Agustin Louis Cauchy, matemático francés

Chámanse así en honra ao matemático francés Augustin Louis Cauchy. O interese das sucesións de Cauchy radica en que nun espazo métrico completo todas as sucesións de Cauchy son converxentes, sendo en xeral máis fácil verificar que unha sucesión é de Cauchy (que se reduce ao estudo dos seus termos) que verificar outros criterios de converxencia.

Na recta real

Definición

Sexa ${\displaystyle \{{x_{n}}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ unha sucesión. Diremos que ${\displaystyle \{{x_{n}}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ é de Cauchy se, para todo número real ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe un enteiro positivo ${\displaystyle N}$ tal que para todos os números naturais ${\displaystyle m,n>N}$ verifícase que

${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon }$

onde a barra vertical denota a norma (que no caso particular do corpo dos números reais sería o valor absoluto).

De xeito similar pódense definir sucesións de Cauchy para o corpo dos números complexos.

Propiedades

As sucesións de Cauchy sobre o corpo dos números reais teñen as seguintes propiedades:

1. Toda sucesión converxente é unha sucesión de Cauchy.
2. Toda sucesión de Cauchy está limitada

Poden consultarse as demostracións asociadas ás propiedades previas en ^[2].

No corpo dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ as sucesións de Cauchy tamén son sucesións converxentes, polo que ambos conceptos son equivalentes. Isto é válido para todo espazo métrico completo.

Nun espazo métrico

Definición

Nun espazo métrico ${\displaystyle \left(M,d\right)}$, unha sucesión

${\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\ldots }$

dícese de Cauchy se para todo número real ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe un número natural ${\displaystyle N}$, de xeito que para todos ${\displaystyle m,n>N}$, a distancia

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<\varepsilon .}$

Isto implica que os elementos da sucesión vanse achegando arbitrariamente a medida que progresamos na sucesión.

Propiedades

1. Toda sucesión converxente é unha sucesión de Cauchy.
2. Toda sucesión de Cauchy está limitada

No corpo dos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ as sucesións de Cauchy non teñen por que ser converxentes.

Contraexemplo:

A sucesión ${\displaystyle \{{a_{n}}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ definida polo termo xeral ${\displaystyle a(n)=(1+1/n)^{n}}$, que é unha sucesión de Cauchy pero cuxo límite, o número ${\displaystyle e}$, non é racional.

En espazos máis abstractos pero non por iso menos familiares, coma os espazos funcionais, demostrar a completude ás veces non é trivial; unha das razóns é que a completude non se preserva necesariamente baixo homeomorfismos coma si pasa coas propiedades de conexidade e compacidade.

Completude

Un espazo métrico ${\displaystyle (X,d)}$ dise que é completo se toda sucesión de Cauchy definida nel converxe a un elemento de ${\displaystyle X}$.

Exemplos

• O corpo dos números reais,
• O corpo dos números complexos,
• O espazo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,
• O espazo ${\displaystyle B(D)}$ de funcións reais con variable real que son limitadas e teñen dominio ${\displaystyle D}$.