Teoría de corpos

A teoría de corpos é unha rama das matemáticas que estuda as propiedades dos corpos. Un corpo é unha entidade matemática para a cal a adición, subtracción, multiplicación e división están ben definidas.

Historia

O concepto de corpo foi empregado implicitamente por Niels Henrik Abel e Évariste Galois no seu traballo sobre resolución de ecuacións.

En 1871, Richard Dedekind, nomeou o conxunto dos números reais ou complexos que son pechados baixo as catro operacións aritméticas como "corpo" para suxerir unha entidade organicamente pechada.^[1]

En 1881, Leopold Kronecker definiu o que el chamou "dominio de racionalidade", que é, de feito, un corpo de polinomios en termos modernos. En 1893, Heinrich Martin Weber deu a primeira definición clara de corpo abstracto.^[2]

En 1910 Ernst Steinitz publicou o artigo Algebraische Theorie der Körper ("Teoría alxébrica de corpos"), que foi moi influente. Neste artigo estudou axiomaticamente as propiedades dos corpos e definiu varios conceptos da teoría de corpos importantes como corpo primo, corpo perfecto e grao de transcendencia dunha extensión de corpos.^[3]

Galois, que non tiña o termo "corpo" en mente, foi recoñecido por ser o primeiro matemático que enlazou a teoría de grupos e a teoría de corpos. A teoría de Galois chámase así na súa honra. Con todo, foi Emil Artin o primeiro que desenvolveu a relación entre grupos e corpos en gran detalle durante 1928-1942.

Introdución

Os corpos son obxectos de estudo importantes na álxebra, posto que proporcionan unha xeneralización útil de varios sistemas de números, como poden ser os números racionais, os reais e os complexos. En particular, cúmprense as regras comúns de asociatividade, conmutatividade e distributividade. Os corpos tamén aparecen en moitas outras áreas das matemáticas.

Cando a álxebra abstracta estaba a ser desenvolvida, a definición de corpo usualmente non incluía a conmutatividade da multiplicación, e ao que hoxe se chama corpo, podería ser chamado corpo conmutativo ou dominio racional. No uso contemporáneo, un corpo é sempre conmutativo. Unha estrutura que satisfai todas as propiedades dun corpo coa posible excepción da conmutatividade, chámase actualmente anel de división ou álxebra de división. Tamén é amplamente empregado o termo corpo non conmutativo. En alemán os corpos coñécense como Körper, e por iso é polo que se emprega a letra ${\displaystyle \mathbb {K} }$ en tipografía blackboard bold para denotar un corpo.

O concepto de corpo foi empregado inicialmente (de maneira implícita) para demostrar que non existe unha fórmula xeral para expresar en termos de radicais as raíces dos polinomios con coeficientes racionais de grao superior ou igual a 5.

Extensións dun corpo

Unha extensión dun corpo k é xustamente un corpo K que contén k como un subcorpo.^[4] Distínguese entre extensións que teñen calidades diferentes. Por exemplo, unha extensión K dun corpo k chámase alxébrica, se cada elemento de K é unha raíz dalgún polinomio con coeficientes en k. Doutra maneira, a extensión chámase transcendental.

O obxectivo da teoría de Galois é o estudo das extensións alxébricas dun corpo.

Clausuras dun corpo

Dado un corpo k, poden introducirse varios tipos de clausura de k. Por exemplo, a clausura alxébrica, a clausura separable, a clausura cíclica etc. A idea é sempre a mesma: Se P é unha propiedade de corpos, entón unha P-clausura de k é un corpo K que contén k, e que ten a propiedade P, a cal é mínima no sentido de que non hai un subcorpo apropiado de K que contén k e ten a propiedade P. Por exemplo, se se toma P(K) como a propiedade de que "todo polinomio non constante f en K[t] ten unha raíz en K", entón unha P-clausura de k é xustamente unha clausura alxébrica de k.

En xeral, se as P-clausuras existen para algunha propiedade P e corpo k, son todas isomorfas. Con todo, non hai isomorfismo preferible xeral entre dúas clausuras.

Aplicacións da teoría de corpos

O concepto de corpo úsase, por exemplo, na definición de vectores e matrices, dúas estruturas na álxebra linear con compoñentes que poden ser elementos dun corpo arbitrario.

Os corpos finitos son empregados en teoría de números, na teoría de Galois e na teoría de códigos, e de novo, as extensións alxébricas son tamén unha gran ferramenta.

Os corpos binarios, corpos de característica 2, son útiles en ciencias da computación.