Teorema de Abel-Ruffini

O teorema de Abel-Ruffini di que no caso de ecuacións polinómicas de grao superior ou igual ao quinto, é dicir, ecuacións da forma:

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni (Teoría xeral das ecuacións), 1799

${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}=0}$

onde ${\displaystyle n\geqq 5}$, é imposible atopar unha fórmula xeral que permita calcular as raíces da ecuación a partir dos seus coeficientes cun número finito de operacións aritméticas e radicais (sumas, restas, multiplicacións, divisións e raíces).

O teorema non indica que estas ecuacións non teñan solución. De feito, tal e como establece o teorema fundamental da álxebra, toda ecuación polinómica de grao n ten unha solución para o conxunto de números complexos.

O teorema tampouco indica que non se poidan atopar solucións. Hai métodos que permiten atopalos con infinitas operacións como o método de Newton. Tamén hai métodos que permiten atopar as solucións engadindo outras operacións. Por exemplo, as ecuacións de quinto grao pódense resolver cos radicais de Bring.

Tampouco di que esta imposibilidade se produza en todos os casos. Hai casos particulares de ecuacións de grao igual e superior a 5 que se poden resolver cun número finito de sumas, restas, multiplicacións, divisións e raíces. Por exemplo a ecuación:

${\displaystyle x^{n}+c_{0}=0}$

Acepta como solucións as raíces:

${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-c_{0}}}}$

A teoría de Galois proporciona os medios para determinar en que casos unha ecuación de grao cinco ou superior admite tal solución.

Historia

Durante séculos, os matemáticos buscaron unha fórmula xeral para resolver ecuacións polinómicas de grao superior ao cuarto, similar ás fórmulas existentes para as ecuacións cadráticas, cúbicas e de cuarto grao. O teorema de Abel-Ruffini, demostrado independentemente por Paolo Ruffini en 1799 e Niels Henrik Abel en 1824 demostrou que tal fórmula xeral non existe para graos superiores a catro.^[1][2]

O teorema de Abel-Ruffini motivou o desenvolvemento de outras áreas da matemática, como a teoría de Galois, que ofrece unha comprensión máis profunda das solucións das ecuacións polinómicas.^[3]