Teorema do número primo

En teoría de números o teorema do número primo é un enunciado que describe a distribución asintótica dos números primos. Este teorema achega unha descrición xeral de como están distribuídos os números primos no conxunto dos números naturais. Isto formaliza a idea intuitiva de que os primos son menos comúns canto máis grandes son. É un dos teoremas máis importantes da historia das matemáticas, non só pola súa beleza senón pola súa influencia no desenvolvemento posterior da investigación dos números primos.^[1]

Expresión do teorema

Gráfico comparativo de π(x) (vermello), x / ln x (verde) e Li(x) (azul).

Sexa ${\displaystyle \pi (x)\,}$ a función de contaxe de números primos, que denota a cantidade de primos que non exceden a ${\displaystyle x\,}$. O teorema establece que:^[2]

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}$, onde ${\displaystyle \ln(x)}$ é o logaritmo natural de ${\displaystyle x}$.

Esta expresión non implica que a diferenza das dúas partes da mesma para valores de ${\displaystyle x}$ moi grandes sexa cero; só implica que o cociente destas para valores de ${\displaystyle x\,}$ moi grandes é case igual a 1.

Unha mellor aproximación que a anterior vén dada pola integral logarítmica desprazada:

${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)}$ , onde ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)}$ é a integral logarítmica desprazada de ${\displaystyle x}$.

Historia

En 1792 ou 1793,^[3] estando aínda no Collegium Carolinum, e sempre segundo o propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»),^[4] este anotou no seu caderno de notas:

«Números primos menores que a (= ∞) a/la» que na linguaxe moderna quere dicir que π(a) para valores cada vez maiores se achega ao cociente a/lna) e considérase como "a primeira conxectura do teorema dos números primos". Ademais a función π(x) que indica a cantidade de números primos que non superan x foi definida por Gauss.

O teorema dos números primos tamén foi conxecturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π(x) parecía ter a forma a/(A ln(a) + B), onde A e B son constantes non especificadas. Na segunda edición do seu libro de teoría de números (1808) fixo unha conxectura máis precisa, indicando que A = 1 e B = −1.08366.^[5] a conxectura foi posteriormente refinada por Gauss coa expresión que se asocia máis frecuentemente ao teorema. Prestaron contribucións significativas sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebyshev e Riemann.^[5]

A demostración formal do teorema fixérona de forma independente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean da Vallée Poussin no ano 1896. Ambas as demostracións baseábanse no resultado de que a función zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta (z)\,}$ non ten ceros da forma 1 + it con t > 0. En realidade a demostración fíxose sobre unha expresión algo máis estrita do que se indica na definición anterior do teorema, sendo a expresión demostrada por Hadamard e Poussin a seguinte:

${\displaystyle \pi (x)\approx {\mbox{Li}}(x)}$

onde

${\displaystyle {\mbox{Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}}$.

Dende 1896 a expresión asociada ao teorema dos números primos foi mellorada sucesivamente, sendo a mellor aproximación actual a dada por:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right)}$

onde ${\displaystyle O(f(x))\,}$ defínese como a función asintótica a ${\displaystyle f(x)\,}$ e ${\displaystyle A\,}$ é unha constante indeterminada.

Para valores de ${\displaystyle x\,}$ pequenos demostrárase que ${\displaystyle \pi (x)<{\mbox{Li}}(x)\,}$, o que levou a conxecturar a varios matemáticos da época de Gauss que ${\displaystyle {\mbox{Li}}(x)\,}$ era unha cota superior estrita de ${\displaystyle \pi (x)\,}$ (isto é que a ecuación ${\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,}$ non ten solucións reais). Non obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostrou que esa cota é cruzada para valores de ${\displaystyle x\,}$ suficientemente grandes. O primeiro deles coñécese como primeiro número de Skewes, e sábese que é inferior a ${\displaystyle \scriptstyle 10^{317}\,}$, aínda que se pensa que pode ser inferior incluso a ${\displaystyle \scriptstyle 10^{176}\,}$. En 1914 Littlewood ampliou a súa demostración coa inclusión de múltiples solucións á ecuación ${\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,}$. Moitos destes valores e descubrimentos están asociados á validez da hipótese de Riemann.

Relación coa hipótese de Riemann

Dada a conexión que hai entre a función zeta de Riemann ζ(s) e π(x), a hipótese de Riemann é moi importante na teoría de números, e por suposto, no teorema dos números primos.

Se a hipótese de Riemann se cumpre, entón o termo erro que aparece no teorema dos números primos pode limitarse do mellor xeito posible. Concretamente, Helge von Koch demostrou en 1901 que

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).}$

se e só se a hipótese de Riemann se cumpre.

Unha variante refinada do resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que a hipótese de Riemann é equivalente ao resultado:

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln(x),\qquad {\text{para todo }}x\geq 2657.}$

Aproximacións para o n-ésimo número primo

Como consecuencia do teorema dos números primos, obtense unha expresión asintótica para o n-ésimo número primo, denotado por p_n:

${\displaystyle p_{n}\approx n\ln n.}$

Unha aproximación mellor é:

${\displaystyle p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n+{\frac {n}{\ln n}}{\big (}\ln \ln n-\ln n-2{\big )}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).}$^[6]

Teorema dos números primos para progresións aritméticas

Sexa ${\displaystyle \pi _{n,a}(x)}$ a función que denota o número de primos nunha progresión aritmética a, a + n, a + 2n, a + 3n, … menor que x. Dirichlet e Legendre conxecturaron, e Vallée-Poussin demostrou, que, se a e n son coprimos, entón

${\displaystyle \pi _{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\mathrm {Li} (x),}$

onde φ(•) é a función totiente de Euler. Noutras palabras, os números primos distribúense uniformemente entre os residuos de clases [a] módulo n con mcd(a, n) = 1. Isto pode demostrarse empregando métodos similares utilizados por Newman na súa demostración do teorema dos números primos.^[7]

O teorema de Siegel–Walfisz dá unha boa estimación da distribución dos números primos nos residuos de clases.