Logaritmo integral

En matemáticas, a función integral logarítmica ou logaritmo integral li( x ) é unha función especial. É relevante en problemas de física e ten importancia na teoría de números. En particular, segundo o teorema dos números primos, é unha moi boa aproximación á función de contaxe de primos, que se define como o número de números primos menores ou iguais a un determinado valor x.

Gráfica de función integral logarítmica

Gráfico da función integral logarítmica li(z) no plano complexo de -2-2i a 2+2i con cores creadas coa función de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Representación como integral

O logaritmo integral ten unha representación enteira definida para todos os números reais positivos x ≠ 1 pola integral definida

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

Aquí, ln denota o logaritmo natural. A función 1/(ln t) ten unha singularidade en t = 1, e a integral para x > 1 interprétase como un valor principal de Cauchy,

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

Logaritmo integral desprazado

O logaritmo integral desprazado ou integral logarítmica euleriana defínese como

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

Como tal, a representación integral ten a vantaxe de evitar a singularidade no dominio da integración.

De forma equivalente,

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}$

Valores especiais

A función li(x) ten un único cero positivo; ocorre en x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... (secuencia A070769 na OEIS); este número coñécese como constante de Ramanujan-Soldner.

${\displaystyle \operatorname {li} ({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)}$ ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... (secuencia A069284 na OEIS)

Isto é ${\displaystyle -(\Gamma (0,-\ln 2)+i\,\pi )}$ onde ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ é a función gamma incompleta. Debe entenderse como o valor principal de Cauchy da función.

Representación en serie

A función li(x) está relacionada coa integral exponencial Ei(x) mediante a ecuación

${\displaystyle \operatorname {li} (x)={\hbox{Ei}}(\ln x),}$

que é válido para x > 0. Esta identidade proporciona unha representación en serie de li(x) como

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ para }}u\neq 0\,,}$

onde γ ≈ 0,57721 56649 01532... (secuencia A001620 na OEIS) é a constante de Euler-Mascheroni. Unha serie máis rapidamente converxente de Ramanujan ^[1] é

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).}$

Expansión asintótica

O comportamento asintótico para ${\displaystyle x\to \infty }$ é

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

onde ${\displaystyle O}$ é a notación O grande. A expansión asintótica completa é

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

ou

${\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

Isto dá o seguinte comportamento asintótico máis preciso:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

Como expansión asintótica, esta serie non é converxente: é unha aproximación razoábel só se a serie se trunca nun número finito de termos e só se empregan valores grandes de x. Esta expansión segue directamente da expansión asintótica para a integral exponencial.

Isto implica, por exemplo, que podemos a podemos limitar por ambos lados como:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

para todo ${\displaystyle \ln x\geq 11}$ .

Importancia en teoría de números

A integral logarítmica é importante na teoría de números, xa que aparece nas estimacións do número de números primos inferiores a un valor dado. Por exemplo, o teorema dos números primos indica que:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

onde ${\displaystyle \pi (x)}$ indica o número de primos menores ou iguais a ${\displaystyle x}$.

Asumindo a hipótese de Riemann, temos unha relación aínda máis forte:

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}$

De feito, a hipótese de Riemann é equivalente á afirmación de que:

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}$ para calquera ${\displaystyle a>0}$.

Para pequenos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$ mais a diferenza muda de signo un número infinito de veces cando ${\displaystyle x}$ aumenta, e a primeira vez que isto ocorre é entre 10¹⁹ e 1.4×10³¹⁶.