Teorema multinomial

En matemáticas, o teorema multinomial describe como expandir unha potencia dunha suma en termos de potencias dos termos desa suma. É a xeneralización do teorema binomial de binomios a multinomios.

Teorema

Para calquera enteiro positivo m e calquera enteiro non negativo n, o teorema multinomial describe como se expande unha suma con m termos cando se eleva á potencia n-ésima:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n\\k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0\end{array}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}$

onde

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

é un coeficiente multinomial. ^[1] A suma tómase sobre todas as combinacións de índices enteiros non negativos k₁ a k_m de tal forma que a suma de todos os k_i é n. É dicir, para cada termo da expansión, os expoñentes dos x_i deben sumar n. ^{[2] [a]}

No caso m = 2, esta afirmación redúcese á do teorema binomial.

Exemplo

A terceira potencia do trinomio a + b + c vén dada por

${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$

Isto pódese calcular a man usando a propiedade distributiva da multiplicación sobre a suma e combinando termos similares, mais tamén se pode facer (quizais máis facilmente) co teorema multinomial. É posíbel "ler" os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo, o termo ${\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}$ ten por coeficiente ${\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3}$, o termo ${\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}$ ten por coeficiente ${\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6}$, e do mesmo xeito para o resto.

Expresión alternativa

O enunciado do teorema pódese escribir concisamente usando multiíndices:

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}$

onde

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}$

e

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}}$

Coeficientes multinomiais

Os números

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}$

que aparecen no teorema son os coeficientes multinomiais. Pódense expresar de moitas maneiras, incluíndo como produto de coeficientes binomiais ou de factoriais:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}}$

Interpretacións

Formas de poñer obxectos en caixas

Os coeficientes multinomiais teñen unha interpretación combinatoria directa, como o número de formas de depositar n obxectos distintos en m caixas distintas, con k₁ obxectos na primeira caixa, k₂ obxectos na segunda caixa, etc.^[3]

Número de permutacións únicas de palabras

Coeficiente multinomial como produto de coeficientes binomiais, contando as permutacións das letras de MISSISSIPPI.

O coeficiente multinomial

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}}$

é tamén o número de formas distintas de permutar un multiconxunto de n elementos, onde k_i é a multiplicidade de cada un dos i-ésimo elementos. Por exemplo, o número de permutacións distintas das letras da palabra MISSISSIPPI, que ten 1 M, 4 Is, 4 Ss e 2 Ps, é

${\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}$

Triángulo de Pascal xeneralizado

Pódese usar o teorema multinomial para xeneralizar o triángulo de Pascal ou a pirámide de Pascal no simplex de Pascal. Isto proporciona un xeito rápido de xerar unha táboa de bprocura de coeficientes multinomiais.