Transformada integral

En matemática, unha transformada integral é calquera transformada T da seguinte forma:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt.}$

O input desta transformada é unha función f, e o output é outra función Tf.

Existen varias transformadas integrais uteis. Cada transformada correspone a unha diferente escolla da función K, que se chama de Kernel da transformada.

Táboa de Transformadas integrais

Transformada	Símbolo	Kernel	t1	t2
Transformada de Fourier	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformada de Mellin	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformada de Laplace dos dous lados	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformada de Laplace	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
TRansformada de Hankel		${\displaystyle t\,X_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformada de Abel		${\displaystyle {\frac {t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	${\displaystyle u\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformada de Hilbert	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformada Identidade		${\displaystyle \delta (u-t)\,}$	${\displaystyle t_{1}<u\,}$	${\displaystyle t_{2}>u\,}$

A pesar das propiedades das transformadas integrais variaren moito, elas teñen algunhas propiedades en común. Por exemplo, calquera transformada integral é un operador linear, unha vez que o integral é un operador linear e na verdade caso o kernel sexa permitido ser unha función xeneralizada, entón todos os operadores lineares transformanse integrais (o teorema kernel de Schwartz é unha versión formalizada desta afirmación).