Distancia

Denomínase distancia á lonxitude do camiño máis curto entre dúas entidades.

A partir da definición de distancia, vista como unha aplicación que satisfai certos axiomas, pódense definir outras nocións de distancia, como a distancia entre dúas partes, ou a distancia dun punto a unha parte, sen que esta última cumpra coa definición primaria de distancia.

Definición

Chamamos distancia nun conxunto E a calquera aplicación d definida no produto E² = E×E e con valores no conxunto ℝ⁺ dos números reais positivos ou cero,

${\displaystyle d:E\times E\to \mathbb {R} ^{+}}$verificando as seguintes propiedades^[1]:

Nome	Propiedade
simetría	${\displaystyle \forall (a,b)\in E^{2},\ d(a,b)=d(b,a)}$
separación	${\displaystyle \forall (a,b)\in E^{2},\ d(a,b)=0\Leftrightarrow a=b}$
desigualdade triangular	${\displaystyle \forall (a,b,c)\in E^{3},\ d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)}$

Un conxunto equipado cunha distancia chámase espazo métrico.

Propiedades simples

• Se E é un subconxunto de F e se d : F×F → ℝ⁺ é unha distancia na aplicación F, entón a restrición de d a E×E é unha distancia en E.
• Se d₁ e d₂ son distancias respectivamente en E₁ e E₂ e se F é o produto E₁ e E₂, entón a aplicación d : F×F → ℝ⁺ definida por

${\displaystyle d((a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}))=d_{1}(a_{1},b_{1})+d_{2}(a_{2},b_{2})}$

é unha distancia en F. Para xeneralizacións, consulte Produto de espazos métricos.

• Se d₁ e d₂ son distancias en E entón d₁ + d₂ tamén o é.

Casos especiais

Distancia ultramétrica

Artigo principal: espazo ultramétrico.

A distancia dise que é ultramétrica se a maiores cumpre:

Nome	Propiedade
Ultrametría	${\displaystyle \forall a,b,c\in E:d(a,c)\leq \max(d(a,b),d(b,c)).}$

Un exemplo de tal distancia ocorre crucialmente na teoría de valoracións p-adicas.

A interpretación xeométrica da desigualdade do triángulo nun espazo ultramétrico conduce á afirmación de que todos os triángulos son isósceles; ademais, todas as bólas de raio dado definidas neste conxunto constitúen unha partición deste conxunto; ao aumentar este raio desde 0, o espazo está equipado cunha estrutura xerárquica de proximidade, utilizábel no agrupamento xerárquico.

Exemplos de distancias clásicas

Distancia nos espazos vectoriais

Visualización dalgunhas distancias e semidistancias: distancias dos puntos do plano en relación co punto de orixe e con outro punto de referencia^[2]

Nun espazo vectorial normado ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$, a distancia d "inducida pola" norma^[3] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ defínese como:

${\displaystyle \forall (x,y)\in E\times E\quad d(x,y)=\|y-x\|}$.

En particular, en ℝⁿ (polo tanto tamén nos seus subconxuntos^[4]), a distancia entre dous puntos pódese definir de varias maneiras, aínda que xeralmente vén dada pola distancia euclidiana (ou 2-distancia).

Dados dous puntos de E, (x₁, x₂, …,x_n) e (y₁,y₂, …,y_n), expresamos as diferentes distancias do seguinte xeito:

Nome	Configuración	Función
distancia de Manhattan	1-distancia	${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|}$
Distancia euclidiana	2-distancia	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$
distancia de Minkowski	p-distancia	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}}$
distancia de Chebyshev	∞-distancia	${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}=\sup _{1\leq i\leq n}{|x_{i}-y_{i}|}}$

A 2-distancia permítenos xeneralizar a aplicación do teorema de Pitágoras a un espazo de dimensión n. Esta é a distancia máis "intuitiva".

A p-distancia raramente se usa fóra dos casos p = 1, 2 ou ∞. A distancia ∞ ten a divertida peculiaridade de permitir a definición rigorosa de esferas cúbicas (ver oxímoro). A distancia 1 permite definir esferas octaédricas.

Distancia (Xeometría)

Denomínase distancia entre dous puntos ${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ e ${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ á lonxitude do segmento de recta que ten por extremos A e B. Exprésase matematicamente como:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$.

A distancia entre un punto P e unha recta R é a lonxitude do camiño máis curto que une o punto ${\displaystyle P(x_{1},y_{1})}$ coa recta ${\displaystyle R=Ax+By+C}$. Matematicamente exprésase como:

${\displaystyle d={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$.

A distancia entre dúas rectas paralelas é a lonxitude do camiño máis curto entre unha delas e un punto calquera da outra.

A distancia entre un punto P e un plano L é a lonxitude do camiño máis curto entre o punto ${\displaystyle P(x_{1},y_{1},z_{1})}$ e o plano ${\displaystyle L=Ax+By+Cz+D}$. Matematicamente exprésase como:

${\displaystyle d={\frac {Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$.

Distancia discreta

En calquera conxunto, a distancia discreta d defínese por: se x = y entón d(x, y) = 0 e, en caso contrario, d(x, y) = 1.

Distancia entre conxuntos

As distancias entre estes tres conxuntos non satisfán a desigualdade do triángulo:$${\displaystyle d(A,B)>d(A,C)+d(C,B)}$$

Existen varias formas de medir a distancia física entre obxectos que constan de máis dun punto:

• Pódese medir a distancia entre puntos representativos como o centro de masa; isto úsase para distancias astronómicas como a Distancia Terra-Lúa.
• Pódese medir a distancia entre os puntos máis próximos dos dous obxectos; neste sentido, a altitude dun avión ou nave espacial é a súa distancia á Terra. O mesmo sentido de distancia utilízase na xeometría euclidiana para definir distancia dun punto a unha recta, distancia dun punto a un plano ou, de xeito máis xeral, distancia perpendicular entre subespazos afíns.

Aínda máis xeralmente, esta idea pódese usar para definir a distancia entre dous subconxuntos dun espazo métrico. A distancia entre os conxuntos A e B é o ínfimo das distancias entre dous dos seus respectivos puntos:$${\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).}$$

• A distancia de Hausdorff entre dous subconxuntos dun espazo métrico pódese considerar como unha medida de ata que punto están en superposición perfecta. De forma algo máis precisa, a distancia de Hausdorff entre A e B é a distancia de A ao punto máis afastado de B ou a distancia de B ao punto máis afastado de A, a que sexa maior. (Aquí o "punto máis afastado" debe ser interpretado como un supremo.) A distancia de Hausdorff define unha métrica no conxunto de subconxuntos compactos dun espazo métrico.

Xeodésicas

Artigo principal: xeodésica.

Triángulos xeodésicos en espazos de curvatura positiva (arriba), negativa (media) e cero (inferior).

En xeometría, unha xeodésica é unha curva que representa nalgún sentido o camiño (arco) máis curto ^[a] entre dous puntos dunha superficie, ou máis xeralmente nunha variedade de Riemann. O termo tamén ten significado en calquera variedade diferenciable cunha conexión. É unha xeneralización da noción de "liña recta".

En xeometría métrica, unha xeodésica é unha curva que é localmente un minimizador de distancia. Máis precisamente, unha curva γ : I → M desde un intervalo I dos reais ata o espazo métrico M é unha xeodésica se hai unha constante v ≥ 0 tal que para calquera t ∈ I existe unha veciñanza J de t en I tal que para calquera t₁, t₂ ∈ J temos

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Isto xeneraliza a noción de xeodésica para as variedades de Riemann. Porén, en xeometría métrica a xeodésica a miúdo está equipada con parametrización natural, é dicir, na identidade anterior v = 1 e daquela temos

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Se a última igualdade se satisfai para todo t₁, t₂ ∈ I, a xeodésica denomínase xeodésica minimizadora ou camiño máis curto.

En xeral, un espazo métrico pode non ter xeodésicas, agás as curvas constantes. No outro extremo, dous puntos calquera dun espazo de métrica intrínseca están unidos por unha secuencia minimizadora de curvas rectificadas, aínda que esta secuencia minimizadora non ten por que converxer nunha xeodésica.