אם ורק אם

אם ורק אם (ראשי תיבות: אמ"ם, iff) או "אימוּם" (בלשון חז"ל: אך ורק אם, או: תנאי כפול, וסימונו בלוגיקה פורמלית: ${\displaystyle \Leftrightarrow }$, ${\displaystyle \leftrightarrow }$ או ≡) בתחום הלוגיקה המתמטית הוא קַשָּׁר לוגי בין שתי טענות השקולות זו לזו במובן שכל אחת אמיתית כשהשנייה אמיתית, אך אם אחת אינה אמיתית גם השנייה שגויה. בניסוח של הלוגיקה הפורמלית זהו קשר של תנאי הכרחי ומספיק.

לדוגמה: תקנות התנועה קובעות שעל הַרַכֶּבֶת להתקדם ולעבור אם, ורק אם הרמזור ירוק:

• אם הרמזור ירוק יש לעבור ולא לעצור.
• יש לעבור רק כשהרמזור ירוק, ולא כשהוא אדום (או אינו פועל).

ומנגד:

• אם הרמזור אינו ירוק - אין לעבור ויש לעצור.
• רק כאשר הרמזור אינו ירוק - אין לעבור. אילו היה ירוק, ההוראה הייתה אחרת: שיש לעבור.

באופן פורמלי זהו קשר בינארי (כלומר פעולה בעלת שני מרכיבים קובעים, או פונקציה בעלת שני ארגומנטים) בין שני פסוקים לוגיים, לפי טבלת האמת שלהלן. סימונו הוא ⇔ (יש המסמנים ↔ או ≡).

טבלת אמת:

Table info: A {\d... ▼

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\iff B}$
שקר	שקר	אמת
שקר	אמת	שקר
אמת	שקר	שקר
אמת	אמת	אמת

בכתיבת תנאים פורמליים במתמטיקה קשר זה מביע התניה הדדית מלאה, כך שאם תנאי אחד מתקיים, בהכרח גם השני מתקיים, ואם השני מתקיים כך גם הראשון, ובאותה המידה אם תנאי אחד אינו מתקיים, גם השני בהכרח אינו מתקיים, ואם התנאי השני אינו מתקיים כך גם הראשון אינו.

ובניסוח פורמלי: תנאי A הוא "הכרחי ומספיק" עבור תנאי B, כאשר יש ביניהם קשר של אם ורק אם. (הכרחי - אם A לא מתקיים הרי שגם B לא מתקיים. מספיק - אם A מתקיים הרי שגם B מתקיים).

לדוגמה: נפוליאון רצה להתקיף את יפו מהיבשה, כאשר אוניותיו ירעישו בתותחים מן הים. אך ההרעשה לא קרתה. במשפט רב החובל טען שיש לו עשרה תירוצים מדוע לא ירה. "ראשית, לא הייתה לנו תחמושת." אמר. מספיק! קרא נפוליאון.

(ד) הרעשת תותחים. תלויה בכך שיש: (א) תחמושת, (ב) טווח ירי, (ג) תותחן בריא.

תנאים הכרחיים: כדי שהאוניה תרעיש בתותחיה את יפו, צריך תחמושת, צריך טווח ירי, וצריך תותחן בריא. בלי אחד מאלה אין הרעשה.

אבל כל אחד לעצמו אינו מספיק. צריך את שלושלתם.

תנאים מספיקים: כדי שתתקיים הרעשת התותחים, מספיק שאחת משתי האוניות, (א) הסאן-מרי-לה-פן או (ב) לה-פו-א-גרה, תירה מתותחיה. אין צורך בשתיהן.

אם אחת האוניות תירה, תהיה זו הרעשת התותחים הדרושה. איך אין זה הכרחי שדווקא (א) תירה, או שדווקא (ב) תירה.

כל אחת מהן מספיקה. אך לא כל אחת מהן הכרחית.

תנאי הכרחי ומספיק: כשיש טווח ותחמושת, עדיין כדי שתהיה הרעשה צריך תותחן בריא. יש את א. פרנסואז (חולה בקדחת) ב. ז'ורז'-פייר (חולה בשחפת) ג. מריאן (מקיאה את הנשמה)

מספיק אחד מהם בריא - כדי שתהיה ההרעשה. למשל, אם ז'ורז' פייר בריא - יירו בתותח.

הכרחי אחד מהם בריא - אם לא יהיה תותחן בריא, וכל התותחנים חולים - לא יירו בתותח.

אמ"ם: תהיה הרעשה אך ורק אם יהיה תותחן בריא.