Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בגאומטריה, מצולע הוא חלק ממישור המתוחם על ידי מספר סופי של קטעים הנפגשים זה עם זה בקודקודים. כל אחד מקטעים אלה נקרא צלע. הזוויות הנוצרות על ידי זוג צלעות סמוכות נקראות זוויות המצולע. הצלעות במצולע מסודרות באופן מעגלי. מצולע שבו כל צלע נפגשת רק עם שתי שכנותיה בנקודות הקצה נקרא מצולע פשוט. מצולע שבו יש צלעות החופפות זו את זו לאורך קטע הוא מצולע מנוון.
המצולעים נקראים על פי מספר הצלעות, לדוגמה: במרובע ישנן ארבע צלעות, במחומש ישנן חמש צלעות, במשושה שש צלעות וכך הלאה. ניתן ליצור אינסוף מצולעים. בטבלה שלהלן מצויים שמות שמונה המצולעים הראשונים:
לעיתים ניתן למצולע שם המפרט מעט יותר את תכונותיו. דוגמאות:
סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור בעל n צלעות (n קודקודים) הוא .
מהנוסחה הזאת נובע שסכום הזוויות החיצוניות במצולע קמור הוא (כאשר בכל קודקוד מחשבים רק זווית חיצונית אחת)
.
גודלה של כל זווית במצולע משוכלל בעל n צלעות הוא: או .
ההוכחה הנלמדת בבתי הספר, שמקורה באוקלידס מורכבת משני שלבים, השלב הראשון הוא הוכחה שסכום הזויות במשולש שווה ל-180 מעלות והשלב השני נוגע לכל יתר המצולעים. נתחיל מהשלב השני. נבצע על המצולע טריאנגולציה, כלומר נחלק אותו למשולשים. באופן זה המצולע מתחלק ל n-2 משולשים, כאשר n הוא מספר הצלעות. סכום הזויות במצולע שווה לסכום הזויות של כל המשולשים יחד, שהוא 180 כפול מספרם כלומר . מ.ש.ל.
על מנת להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180 נבנה קו מקביל לאחת הצלעות במשולש, העובר דרך הקודקוד שממולה. עתה ניתן לראות שהזויות שבין צלעות המשולש, לקו שבנינו שווים לזוויות הפנימיות במשולש, ויחד יוצרים זווית של 180 מעלות. מ.ש.ל
ההוכחה הבאה מתבססת על שפת התכנות לוגו, שבה מציירים צורות בעזרת הפקודות 'קדימה' ו'ימינה'. נעקוב אחר הצב בזמן שהוא מצייר את המצולע, בכל שלב הזווית שבה הצב מסתובב שווה לזווית החיצונית לזווית של המצולע, ובסה"כ לאחר ציור המצולע כולו הצב חוזר לאותו כיוון ולכן הסתובב בסה"כ 360 מעלות. הוא חזר על הפעולה n פעמים לכן אם נציין ב-A את סכום הזויות במצולע נקבל ש: ומכאן
על מנת ליצור ריצוף - כלומר לכסות את המישור כולו במצולעים, חייב להתקיים תנאי על הזויות: סכום הזויות בכל קודקוד חייב להיות שווה ל-360. מכאן ניתן לראות לדוגמה שהמצולעים המשוכללים היחידים שניתן לרצף רק איתם את המישור הם המשולש הריבוע והמשושה המשוכללים, שכן רק הזויות הפנימיות שלהם מחלקים את 360.
התנאי ליצירה של פאון (צורה תלת־ממדית הבנויה ממצולעים) היא שסכום הזויות בכל קודקוד יהיה קטן מ-360. מכאן ניתן להיוכח שהמצולעים היחידים שמהם ניתן לבנות פאון משוכלל (פאון שבו כל הפאות הם מצולעים משוכללים זהים, ואותו מספר פאות נפגש בכל קודקוד) הם המשולש, הריבוע והמחומש. ישנם 3 פאונים משוכללים שניתן לבנות מהמשולש המשוכלל, ולכן בסך הכל ישנם 5 פאונים משוכללים. פאונים אלו קרויים גם 'פאונים אפלטוניים', על שם הפילוסוף היווני אפלטון.
חמשת הפאונים האפלטוניים | |||||||||||
|
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.