קבוצה חסומה

תת-קבוצה של מרחב מטרי היא קבוצה חסומה אם היא מוכלת בכדור. כלומר, כל הנקודות שלה נמצאות במרחק קטן מקבוע ממשי מנקודה קבועה. תנאי שקול לזה - הקבוצה חסומה אם המרחק בין כל שתי נקודות שלה אינו עולה על קבוע מסוים. מרחב מטרי חסום נקרא מרחב חסום.

אפשר לחשוב על קבוצה חסומה כקבוצה 'קטנה'. מדדים עדינים יותר לגודל הם קומפקטיות והדרישה שקבוצה תהיה חסומה כליל. כל קבוצה קומפקטית היא חסומה כליל, וכל קבוצה חסומה כליל היא חסומה.

למשל בישר הממשי קבוצה חסומה היא קבוצה המוכלת בקטע סופי. במילים אחרות, זו קבוצה שיש מספר שגדול מכל איבריה ומספר שקטן מכל איבריה.

הגדרה מתמטית

בהינתן מרחב מטרי ${\displaystyle S}$ עם מטריקה ${\displaystyle d}$ וקבוצה ${\displaystyle B\subseteq S}$, הקבוצה ${\displaystyle B}$ תקרא קבוצה חסומה אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:^[1][2]

• קיים ${\displaystyle 0<R<\infty }$ כך שלכל ${\displaystyle a,b\in B}$ מתקיים ש-${\displaystyle d(a,b)<R}$. כלומר, הקוטר של ${\displaystyle B}$ הוא סופי.
• קיים ${\displaystyle c\in B}$ ו-${\displaystyle 0<R<\infty }$ כך שלכל ${\displaystyle a\in B}$ מתקיים ש-${\displaystyle d(a,c)<R}$. כלומר, הקבוצה ${\displaystyle B}$ מוכלת בכדור שמרכזו בנקודה כלשהי של ${\displaystyle B}$
• לכל ${\displaystyle c\in B}$ קיים ${\displaystyle 0<R<\infty }$ כך שלכל ${\displaystyle a\in B}$ מתקיים ש-${\displaystyle d(a,c)<R}$. כלומר, מכל נקודה ב-${\displaystyle B}$ ניתן לבנות כדור שמכיל את כל ${\displaystyle B}$.
• קיים ${\displaystyle c\in S}$ ו-${\displaystyle 0<R<\infty }$ כך שלכל ${\displaystyle a\in B}$ מתקיים ש-${\displaystyle d(a,c)<R}$. כלומר, הקבוצה ${\displaystyle B}$ מוכלת בכדור שמרכזו בנקודה כלשהי של ${\displaystyle S}$ (לאו דווקא מ-${\displaystyle B}$)
• לכל ${\displaystyle c\in S}$ קיים ${\displaystyle 0<R<\infty }$ כך שלכל ${\displaystyle a\in B}$ מתקיים ש-${\displaystyle d(a,c)<R}$. כלומר, מכל נקודה ב-${\displaystyle S}$ (לאו דווקא מ-${\displaystyle B}$) ניתן לבנות כדור שמכיל את כל ${\displaystyle B}$.

תכונות

• הקבוצה הריקה ${\displaystyle \emptyset }$ היא קבוצה חסומה באופן ריק.
• לכל ${\displaystyle a\in S}$, היחידון ${\displaystyle \{s\}}$ הוא קבוצה חסומה.
• כל קבוצה המוכלת בקבוצה חסומה, היא קבוצה חסומה.
• כל איחוד סופי של קבוצות חסומות, הוא קבוצה חסומה.
• כל קבוצה סופית היא חסומה.
• משפט היינה-בורל: במרחב אוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$, כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית.
• משפט בולצאנו-ויירשטראס: במרחב מטרי שלם, לכל קבוצה חסומה ואינסופית יש נקודת הצטברות.

הכללה למרחבים וקטורים טופולוגיים

ניתן להכליל את ההגדרה של קבוצה חסומה לכל מרחב וקטורי טופולוגי:^[3]

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי ${\displaystyle V}$ מעל השדה ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (כאשר ${\displaystyle \mathbb {K} }$ הוא שדה הממשיים או שדה המרוכבים) עם הטופולוגיה ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, קבוצה ${\displaystyle B\subseteq V}$ תקרא קבוצה חסומה אם לכל סביבה פתוחה של הראשית ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ קיים ${\displaystyle r\in \mathbb {K} }$ כך ש-${\displaystyle B\subseteq rU}$.

אם המרחב ${\displaystyle V}$ מטריזבלי, כלומר ניתן לבנות את הטופולוגיה שלו באמצעות כדורים פתוחים על-פי מטריקה כלשהי, אז הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הקבוצה החסומה במרחב המטרי.

ראו גם

• חסם
• פונקציה חסומה
• משפט היינה-בורל
• משפט בולצאנו-ויירשטראס

קישורים חיצוניים

• קבוצה חסומה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Eric W. Weisstein, Bounded Set, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
2. Definition:Bounded Metric Space - ProofWiki, proofwiki.org
3. H. H. Schaefer, Manfred P. H. Wolff, Topological Vector Spaces, Springer Science & Business Media, 1999-06-24, ISBN 978-0-387-98726-2. (באנגלית)