מרכז (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מרכז החבורה ${\displaystyle G}$ היא קבוצת כל האיברים שמתחלפים עם כל איברי ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle {\text{Z}}(G)=\{z\in G:gz=zg\,,\forall g\in G\}}$

המרכז הוא תמיד תת-חבורה נורמלית ואבלית של ${\displaystyle G}$. סימונו מגיע מהמילה הגרמנית Zentrum שמשמעותה "מרכז".

אם ${\displaystyle G}$ היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם ${\displaystyle {\text{Z}}(G)=\{e\}}$ (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק).

נתבונן בהומומורפיזם ${\displaystyle \varphi }$ מהחבורה ${\displaystyle G}$ לחבורת האוטומורפיזמים שלה ${\displaystyle \varphi :G\to {\text{Aut}}(G)}$ המוגדר לפי ${\displaystyle (\varphi (g))(h)=ghg^{-1}}$ (כלומר ${\displaystyle \varphi (g)}$ הומומורפיזם הצמדה ב-${\displaystyle g}$). הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי ${\displaystyle G}$ שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של ${\displaystyle G}$, והתמונה ${\displaystyle \varphi (G)}$ היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של ${\displaystyle G}$, ומסומנת ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ${\displaystyle G/{\text{Z}}(G)\cong {\text{Inn}}(G)}$. לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ-${\displaystyle G^{\text{ad}}=G/{\text{Z}}(G)}$.

ראו גם

• מרכז (אלגברה)

קישורים חיצוניים

• מרכז, באתר MathWorld (באנגלית)

• מרכז (תורת החבורות), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)