גרעין (אלגברה)

גרעין (באנגלית: Kernel) של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האיברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי (לדוגמה: איבר האפס של מרחב וקטורי, איבר האפס של חוג, האיבר הנייטרלי של חבורה). הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה ${\displaystyle f:A\to B}$ ב-${\displaystyle {\text{Ker}}(f)}$ או ${\displaystyle \ker(f)}$ (לעיתים משמיטים את הסוגריים ורושמים ${\displaystyle \ker f}$).

דוגמאות

• אם ${\displaystyle T:V\to W}$ הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו ${\displaystyle {\text{Ker}}(T)=\{v\in V:T(v)=0\}}$ הוא תת-מרחב של ${\displaystyle V}$, שממדו ${\displaystyle \dim(V)-{\text{rank}}(T)}$.
• אם ${\displaystyle f:G\to H}$ הומומורפיזם של חבורות, הגרעין ${\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in G:f(x)=e_{H}\}}$ הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה ${\displaystyle G/{\text{Ker}}(f)}$ איזומורפית לתמונה ${\displaystyle {\text{Im}}(f)}$.
• אם ${\displaystyle f:R\to S}$ הומומורפיזם של חוגים, הגרעין ${\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in R:f(x)=0\}}$ הוא אידיאל דו-צדדי, וחוג המנה ${\displaystyle R/{\text{Ker}}(f)}$ איזומורפי לתמונה ${\displaystyle {\text{Im}}(f)}$.
• אם ${\displaystyle f:M\to N}$ הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין ${\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in M:f(x)=0\}}$ הוא תת-מודול של ${\displaystyle M}$, ומודול המנה ${\displaystyle M/{\text{Ker}}(f)}$ איזומורפי לתמונה ${\displaystyle {\text{Im}}(f)}$.
• ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה מנוקדת (pointed set). אם ${\displaystyle f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז ${\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in X:f(x)=y_{0}\}}$.

ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.

ראו גם

• מרחב פתרונות

קישורים חיצוניים

• גרעין, באתר MathWorld (באנגלית)