Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
היסטוריה של המתמטיקה, ליאו קורי
סימון מתמטי (אנ')
דף זה אינו ערך אנציקלופדי | |
אנכרוניזם; היסטוריה-ושירה; הבדל היסטוריה למורשת
מספרים אי רציונליים[1]; חוקי התנועה; אינטגרלים-דיפרנציאלים; משפט אוילר-רנה דקארט
אינקומנסורביליות; בנייה בסרגל ומחוגה
גם פפירוס רינד, על שם מגלהו במאה ה-19 (אם כי קנה אותו ולא הבין את תוכנו; אחרי מותו הועבר להמוזיאון הבריטי). מהווה התקדמות רבה בתחום הסימנים. המצרים העריכו את ב: , כך נראה עפ"י נוסחה לחישוב שטח עיגול בפפירוס; על פי תשובה 48 בפפירוס, נראה שהגיעו למספר ע"י חישוב שטח של מתומן הבנוי בתוך ריבוע . מכיל גם סכום סדרה הנדסית קטנה.
הרודוטוס כתב על פרעה רעמסס השני ששלח מודדים לאיכרי מצרים כדי לגבות מסים לפי שטח השדה (במקרה של הצפה ע"י הנילוס, אז הוטל המס על החלק שלא הוצף); לדעתו, זוהי תחילת הגאומטריה במצרים. אפלטון אמר על המצרים שהם "בעיקר עם של חנוונים", ועל כן עסקו רק בחשבונות פרקטיים; אבל גם הוא ייחס להם את ראשית הגאומטריה - בניגוד למתועד בפפירוס אחמס.
על פי Boyer[4], המתמטיקה היוונית עסקה בתחילתה רק בקבוע ולא במה שנע או משתנה: במשוואות של דיופנטוס היו רק קבועים (תכונה שעברה לאלגברה ההודית והערבית); רובם האמינו שתנועה היא אשליה (הפרדוקסים של זנון).
המתמטיקאי הראשון שתועד; כנראה הראשון שהציג את מושג ההוכחה; נסע הרבה באסיה הקטנה ובמצרים, וצבר ידע רב. מספרים שהתעשר מרכישה של בית בד, בשנה שבה חזה יבול גדול של זיתים; כנראה אחרי שצבר די ל"פנסיה" החל במחקר מתמטי-מדעי (ולא רק לצורך חישובים מעשיים; אביקם גזית: הראשון ששאל "מדוע" ולא רק "איך"). הרשים את המצרים במדידת גובה פירמידה ע"י השוואת צילהּ עם צל של מוט; ואת מיקומה של ספינה רחוקה מהחוף.
לא ידוע עליו הרבה פרט לכך שפעל בהספרייה הגדולה של אלכסנדריה, שנוסדה בידי תלמי הראשון. כתב את ה"יסודות" - ראשון מסוגו ומשפיע מאד.[10]
"הגאומטר הגדול"; ידועים מעט פרטים ביוגרפיים - בין אוקלידס (אין) וארכימדס (ידוע)
חתכי חרוט (קוניקות)[23] [24]; בניגוד ל-אוקלידס: מישור החתך לא בהכרח ניצב לקו היוצר; החרוט לא "ישר" (יכול להיות משופע); ולא סופי[25]
נתן שמות לחתכים: פרבולה: παραβολή ("לשים בסמוך", העתקה); אליפסה: έλλειψη (חוסר); היפרבולה: υπερβολή (עודף). המניע לשמות: העקום מוגדר גאומטרית (כמובן לא אלגברית) ע"י חתכי חרוט, כך: לכל נקודה P עליו, ולקודקוד A, הריבוע הבנוי על האנך לציר הראשי: PQ - שווה לשטח מלבן, הבנוי על AQ ועל קטע קבוע AW (שניצב לו ולציר y). אורך AW קובע את סוג החתך: אם AW שווה למיתר ניצב העובר דרך המוקד - העקום "מונח, מועתק" והוא פרבולה. אם AW גדול מהמיתר אז העקום "בעודף" - היפרבולה; אם AW קטן מהמיתר אז "בחוסר" - אליפסה. אחר: פרבולה היא חתך מקביל לאחד הקוים היוצרים של החרוט; אליפסה היא חתך בזוית פנימה לקו היוצר, ולכן המשך החתך פוגש את הקו היוצר (נסגר לאליפסה); היפרבולה היא חתך בזוית החוצה, ולכן המשך החתך לאינסוף לא פוגש את הקו היוצר, וגם לא את השני (נפתח יותר מפרבולה).
באלגברית: אם נגדיר את A כראשית הצירים,
(עד המאה ה-17 בלבד!)
529: יוסטיניאנוס סגר את האקדמיה האפלטונית באתונה; נוסד מנזר מונטה קאסינו, מעבר הדרגתי של הסמכות המדעית מרומי - למנזרים הקתולים
בעבר רווחה התפיסה, שמתמטיקאים מוסלמים היו רק חוליה מקשרת בין היוונים-רומים למדעני המאה ה-17; היום מסכימים שהייתה להם תרומה מקורית.
766 (762?): הח'ליפה אל-מנצור ייסד את בגדאד
משתמש:Avneref/מדע/אל-ח'ואריזמי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי; על שמו מושג האלגוריתם
. מכאן נובע ברקורסיה משפט מ"ב:
Nicole Oresme, כנראה הראשון שהמציא "צירים", והציג גדלים על "גרף" כלשהו (לפי Struik). הגדיר את הגודל של תנועה או זמן כ"אורך" (longitudo), שיוצג ע"י קו לאורך התנועה; ואת המהירות או ה"עצימות" (אנ' intensity) כ"רוחב" (latitudo). כך, הדרך שעובר גוף הומחש ע"י השטח של המלבן (או, במקרה של שינוי קבוע במהירות - מקבילית) שנוצר ע"י הזמן והמהירות.
תרם לחישוב טורים אינסופיים: חישב את סכום הטור , והראה שהטור ההרמוני לא מתכנס לסכום סופי (כ-300 שנה לפני יאקוב ברנולי, שהיה מחלוצי הטורים). חישב גם טורים של חזקות עם מעריכים רציונליים (?).
גדול המתמטיקאים הצרפתים במאה ה-17[36], כמו פרמה, היה עורך דין (לא היו מתמטיקאים מקצועיים אז). עסק בפיענוח קודים בעבור פטרונו, הנרי III (וגם הואשם בפני האפיפיור בכישוף ע"י מלך ספרד, האויב). תרומתו העיקרית היא לאלגברה.
מהנדס, שהתמקד באריתמטיקה, חישוב; 1585 כתב "אריתמטיקה" - ספר פרקטי מאד, אבל גם חידש מושגים. ביטל (בסוף תהליך הדרגתי של דורות) את ההבחנה בין מספר (שלם) לגודל; גם 1 הוא מספר! וגם - חלקים, גם שורש, ואפילו: זוג אינקומנסורבילי. פיתח שיטה פוזיציונלית לייצוג שברים עשרוניים: , והראה שקל יותר לחבר כך. הביא לביטול החלוקה ל-360 מעלות (בשימוש האסטרונומים), ומשם (?) גם מטבעות חולקו לעשרות (השיטה האינצ'ית - רק ב-1980).
אלגוריתמים; "ממציא הלוגריתמים", והנקודה העשרונית (ביטל הסוגריים). כתב "הלוגריתם המופלא", Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614 [38]. כבר שוקה חשב על כך; הנרי בריגס בחר את הבסיס 10 (Katz).
פייר דה פרמה, רנה דקארט: חידושים, שהם למעשה חזרות משוכללות על רעיונות שאולי היו כבר ליוונים (בדרך ספירלה).
משפטן ולא מתמטיקאי מקצועי (כמו ויאט). משכיל, בקי בתרבות הקלסית, ובפילוסופיה אקספרימנטלית. הומניזם - מתעניין במסורת הקלסית; רכש כבוד לקדמונים (היוונים), וראה עצמו כממשיך מסורתם ו"מחייה" אותה, ולא מהפכן - אם כי חידש דברים משמעותיים; למשל: Adaequare, "שווה בקירוב", רעיון מדיופנטוס שהוא שכלל, והביא לבסוף לקלקולוס.
לא פרסם, אבל התכתב עם מדענים, כתביו התפרסמו רק ע"י בנו. ספרו: "מבוא למקומות גאומטריים - מישוריים וגופיים" (כ-1637): Ad Locos Planos et Solidos Isagoge - אלה אותם סוגים של בעיות של פאפוס.
בן למשפחה אריסטוקרטית, קיבל חינוך ישועי; בגלל מחלת ילדות, הורשה להשאר במיטה עד מאוחר, וכך הגה שעות רבות והגיע להבנה שבית הספר לא לימד אותו שום דבר ודאי או בעל ערך. כך גדל להיות ספקן, וסיפק את סקרנותו ע"י שיטוט בעיר ובמפגש עם מגוון של אנשים. לחם במלחמת שלושים השנה; עבר להולנד; ב-1629 כתב כללים להכוונת השכל; ייסד פילוסופיה קרטזית, שהתיימרה להחליף את זו של אריסטו: אני חושב, משמע אני קיים; בעיית גוף-נפש - התפשטות החומר; המציא פיסיקה קרטזית ("תורת המערבולות"), ששלטה כ-100 שנה והתחרתה בזו של ניוטון, עד שהובסה. הוזמן ללמד פרטנית את כריסטינה, מלכת שבדיה, סופרת ומלכה נאורה. הוא העריץ מלכים ונענה לה, אך היא דרשה ממנו לקום לשיעורים ב-5 בבוקר. "אפילו המחשבה קפאה לי" כתב. הוא לקה בדלקת ריאות שממנה מת[39].
Discours de la Méthode, 1637; כולל נספחים: אופטיקה, מטאורולוגיה, גאומטריה
(La Géométrie), נספח לקודם, שכלל 3 ספרים:
המפתח למעבר מהגאומטריה הישנה לחדשה - קביעת קטע באורך אחדה; כך הגדיר כפל, חילוק וממוצע גאומטרי של אורכי קטעים. בניגוד ליוונים, ואפילו לפרמה בן-זמנו - מכפלה של שני ישרים לא הניבה שטח (מלבן או רבוע), אלא, ע"י פרופורציות גאומטריות (או דמיון משולשים) - המכפלה (וגם חילוק, שורש) הניבה אורך![42] עפ"י הית', זהו הדהוד של משפט I.44 של אוקלידס; קורי: לא נכון, כי קטע באורך אחדה לא קיים שם!
דקארט לא פותר בעיה מסוימת, אלא מלמד דרך שיטתית לפתרון כל בעיה מסוג כזה[40]. אבל בדיאלקטיקה מעניינת, הוא גם אומר ששיטותיו אינן יותר מאשר שימוש בידע היווני הקיים ("החזרת עטרה ליושנה"), אבל גם אומר שהם לא הבחינו באפשרות לפתור בשיטה שהיא גם כללית וגם פשוטה יותר - אחרת לא היו מקדישים ספרים רבים לכל הסוגים האפשריים של הפתרונות.
הדגמות של משפט II.5 ביסודות:
המאה ה-17 היא תקופה של הרבה רעיונות סותרים; רק במאה ה-18 התגבשו הרעיונות לכלל מצב מאוזן עם פחות קונפליקטים וויכוחים.
ג'ון ואליס (Wallis): למד באוניברסיטת קיימברידג', שם לא היה פרופסור למתמטיקה אחד, שידריך אותו במקצוע - ולכן למד תאולוגיה והוסמך לכמורה! התמחה בהצפנה, בכך עזר לתומכי הפרלמנט במלחמת האזרחים האנגלית (כנגד המלוכנים! אבל שמר איתם על יחסים טובים), ובתמורה לכך קיבל משרה (יוקרתית) באוניברסיטת אוקספורד - שבה החזיק 50 שנה. למד את: יוהאנס קפלר, אוונג'ליסטה טוריצ'לי, בונאוונטורה קאוואליירי, דקארט ו-ז'יל פרסון דה רוברוואל. עסק במקוריות במושג האינסוף, והנהיג את: ). בגלל נדודי שינה, פיתח טכניקות חישוב בע"פ שאפשרו לו לחשב שורש של מספר בן 53 ספרות, ולזכור התוצאה בבוקר.
נתן הסבר למציאת פתרון לבעיית מקסימום, עם הגדרת גודל אינפיניטסימלי שמתאפס, ו"שוויון בקירוב"; לא נתן הסבר מדוע זה עובד, אך קפלר הסביר אינטואיטיבית: בקרבת נקודת קיצון, ההפרש בין ערכי ה- "מתאפס מהר יותר מאשר e". אצל פרמה: e לא בהכרח קטן (הוא אפילו חילק ב- לפי הצורך). כלומר - מצא דרך דומה מאד למושג הנגזרת (שיטה דיפרנציאלית - הפרשים קטנים, לבעיה שהפתרון ה"טבעי" לה הוא אינטגרלי - סכומים קטנים!), מבלי שהכיר אותה, ובלי שידע להסביר; אכן, היו רבים שחשבו שמה שעשה לא לגמרי לגיטימי, מתמטית.
פרמה נמשך לאידאליזם היווני, ולא רצה לחרוג; אבל גם רצה להיפטר מהסרבול של ההוכחות הגאומטריות והפרופורציוניות. על כן הציג תפיסות חדשות (למשל: ה-Adaequare), שהראה שהן כאילו קיימות כבר אצל היוונים. הוא מחשב עם השיטות שלהם, עם מעבר לאינסוף - וגם אז מסתמך על הוכחה של אוקלידס! - משפט IX.35 [43]: אם יש סדרה יורדת (היום יודעים - הנדסית): אזי: . וזה נכון לפי ה-Adaequare של ארכימדס (זה לא שלו...), אם כי לאשש אותה עפ"י ארכימדס דרוש הסבר ארוך מאד. בתחילה - מזל שקווליירי "הלך עד הסוף" בלי להתחשב בבעיית האינסוף; כאן - פרמה פותר אותה, באופן מקורי אבל תוך הסתמכות מסוימת על אוקלידס ועל ארכימדס. זה נכון לכל סוגי ההיפרבולות מדרגה ; למקרה של 1 (שהאינטגרל הוא ) - גרגורי מסן-וינסנט הראה את הדרך לחשב, ובעקבותיו de Sarasa (ספרד) הראה חישוב לוגריתמים.
לדעת Boyer[4]:
התכתב עם אולדנברג, מזכיר החברה המלכותית, ששימש צומת מידע כמו מרסן בצרפת, לפניו.
חישב משיקים לפרבולה, אליפסה, ציקלואידה - אינטואיטיבית כך ש"כיוון המשיק הוא בכיוון תנועת העקום" (אקסיומה שקבע); התוצאה הייתה: משיק בכיוון "חיבור וקטורי" (כמובן כאינטואיציה, כי לא היו עדיין וקטורים) בין (למשל): קטע המחבר נקודה על הפרבולה למוקדהּ, לבין קטע המרחק לקו המדריך.
פיתח שיטה של "בלתי-מחולקים" (Indivisible): קוים דקים שכבר "לא ניתן לדקק יותר", לחישוב שטחים; כך הראה שהשטח מתחת לאלכסון, לפרבולה, ולכל עקום מסדר , שווה ל- של המלבן המכיל. זה אכן מתאים לחישוב האינטגרל של ימינו:
; הוא הוכיח עד n=4, והסביר עד n=9 - אבל לא קבע את הנוסחה (המתבקשת) ל-n כללי! כנראה כי לדעתו, נכון רק מה שמוכח גאומטרית - לא התעניין באלגברה.
קווליירי חילק מקבילית ל-2 משולשים ע"י האלכסון, וצייר קוים אופקיים שמכסים כל השטח; לכל קו במשולש יש קו אנלוגי במשולש השני, ולכן סכום כל הקוים במשולש, שווה לחצי מסכומם במקבילית; לכן ל- n=1, שטח המשולש הוא 1/2 - טריויאלי.
ל- n=2, "סכום" ריבועי הקוים במקבילית שווה לפיתוח בינום: , שם הם החלקים של הקו האופקי בין R ל-V; אבל כשחוצים את המקבילית באמצע ע"י קו S שמקביל לצלעותיה, כך ש(בחלק העליון):
ומכאן:
(כי יש שני משולשים קטנים שבהם מופיע ST); על פי משפט ידוע ??, היחס בין ריבועי ST במשולש הקטן לבין ריבועי RT בכפול ממנו, הוא כיחס קוביות (³) יחסי המשולשים (2) - כלומר 8:1, ולכן: , וכן: , ומתקבל:
ולבסוף מתקבל: .
החישוב המפורט בהרצאה של קורי (10.4)
לכן, אפשר היה לפרש את עבודתו לאור האינפי הידוע היום. אמנם, עדיין לא המציא שיטה; אבל (קורי): זה דומה לקלקולוס, בכך שיש ניסיון לשיטה כללית לפתור בעיות - וזו רוח המתמטיקה במאה ה-17, בעיקר אצל דקארט: השיטה כביטוי לרציונליזם במדע. בשונה מהמתמטיקה הישנה (אוקלידס, שידע את היחס למשולש: 1:2; ארכימדס שגילה את היחס גליל:חרוט: 1:3, שהיה חרוט על קברו עפ"י המיתוס; אבל מאז לא הייתה תוצאה דומה נוספת).
השאלה: איך זה לגיטימי? (דוגמה פשוטה, במכתב לטוריצ'לי, שהשיטה מובילה לאבסורד: "הוכחה" ששטחים של שני משולשים שוני-צלעות ומשותפי-גובה, שווים). בדיאלקטיקה של קווליירי נגד הביקורת - שני המחנות תרמו לפיתוח התורה המשוכללת יותר. קווליירי לא נרתע, התמודד (באופן לא מוצלח): הציע שבצלע של המשולש הגדול יש "יותר נקודות".
הוא וקווליירי היו תלמידיו של גלילאו גליליי.
היה מאלה שטענו שהאריתמטיקה נפרדת מהגאומטריה. בספר: אריתמטיקה של האינסופיים (Arithmetica Infinitorum, 1656), עשה אריתמטיזציה של שיטת קווליירי (בדומה לסטבין ולרוברוול, מבלי לדעת שאחרים העלו את הרעיון באותה עת):
במסגרת עיסוק בטורים (לעיל), גילה שהיחס בין סכום (החזקות הראשונות של) האורכים במשולש, לבין סכום האורכים בריבוע: , ובאינדוקציה (modus inductionis):
הקשר לקווליירי: הסכום הראשון מתאים לשטח המשולש, והשני מתאים לשטח מלבן או מקבילית שהמשולש חצי ממנה - על כן היחס 1/2.
והיחס בין סכום הריבועים של האורכים במשולש, לבין סכום ריבועי האורכים בריבוע: , ובאינדוקציה: ; הסכום הראשון מתאים לשטח מתחת לפרבולה מסדר 2, שהוא 1/3 משטח מלבן חוסם.
והוא הכליל לחזקות: 3,4,5,6 . לפי Boyer: כך גילה כנראה שטחים ונפחים כגבולות של סדרות אינסופיות, בדומה לדרך של פרמה ע"י סדרות של פרופורציות גאומטריות. ייתכן שהם שהניחו, בנפרד, בסיס לאינטגרל המסוים - אבל חוסר הבהירות מנע מהם קרדיט: פרמה לא הסביר את טבעו של e, ואילו ואליס הציג קווים בעלי "עובי" ו- כ-0.
הראה איך מתקבל שטח המשולש, בכך שקבע ש- (כינה זאת non-quanta): במשולש שבסיסו A וגובהו B, יש אינסוף קוים מקבילים לבסיס, ש"עובי" כל אחד הוא , ואורכם הממוצע הוא: הארוך ביותר ועוד הקצר (אפס) מחולק ב-2; השטח שווה ל"סכומם" הכללי: ה"מספר" כפול ה"עובי" שלהם, כפול אורכם הממוצע: . יישם שיקולים אלה לחישוב שטחים ונפחים של צורות רבות: גליל, חרוט, חתכי חרוט.
באשר לממדים - טען שלא ניתן לדמיין יותר מ-3.
(אנ')
משפט 11 בספר (הרצאה X): קשר בין שטח תחת עקום, למשיק! כנראה היה הראשון להבין זאת (או ג'יימס גרגורי (אנ')?). וגם הוא נצמד לגמרי לטכניקות יווניות! יש עדות שלייבניץ רכש הספר ב-1673.
נושאים מרכזיים במתמטיקה שלו:
בפיסיקה, בנוסף למכניקה ששלטה כ-300 שנה, הוסיף נספח של "שאלות" ("Queries") לספרו "אופטיקה", ובהן: ”?Do not Bodies act upon Light at a distance, and by their act ion bend its Rays”, ו-”?Are not gross Bodies and light convertible into one another”.
הרחיב את ההבינום של ניוטון (שהיה ידוע, גם לסינים -?) - למספרים לא שלמים, רציונליים. למשל (פרבולה על הצד): שאותו בדק ע"י הכפלה בעצמו, וגם ע"י טכניקת הוצאת השורש (שפותחה במאה ה-16, ופעם למדנו בבי"ס);
או: ; שגם אותו בדק, ע"י חילוק ארוך של 1 ב-
כיוון שידע, שהשטח-תחת-העקומה (היום: האינטגרל) של הוא , וכך חישב את הלוג של מספרים, בדיוק רב (50 מקומות), ע"י חישוב פשוט של "אינטגרל" (הטכניקה הייתה ידועה כבר) של איברי הטור - וזה קיים בכתב ידו.
הגדיר fluent=x, גודל כלשהו ש"תלוי בזמן"; ו-fluxion[50] שהוא ; ומומנט של פלואנט: ערך השינוי , בפרק זמן "קטן עד אינסוף" o.
ביצע מה שהיום נקרא נגזרת אימפליציטית: בהינתן היחס בין הפלואנטים (בצורת פונקציה סתומה), דרוש למצוא את היחס בין הפלוקציות; בהינתן הקשר: , מתקבל: . עשה זאת בדומה ל-Adaequare. למרות שזה לא חישוב של נגזרת, ולמעשה אין ממש פונקציה, כהגדרתה מאוחר יותר. אבל, ניסח ביטוי ל"נגזרת", כיחס בין שינוי הפלוקציה לבין שינוי הפלואנט - במצב של "היחס האחרון שלהם (in their ultimate ratio)", וזאת 100 שנה לפני הגדרה פורמלית של הגבול. הוא קודם חילק ב-o, ואח"כ מחק את הכפולות שנשארו של o (כי הוא קטן עד כדי הזנחה)[51].
כך למשל, הנגזרת של מתקבלת מפיתוח של הבינום:
ואחרי סידור: ; ומכאן היחס, שהוא "הנגזרת": .
כך גילה ניוטון את המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לא מתוך פיתוח בנפרד של הרעיון, והטכניקה, של הגזירה; והרעיון והטכניקה של האינטגרל, ואז - גילוי (אפשר לומר - מקרי) של הקשר ביניהם; אלא - מתוך פיתוח הקשרים בין הפלואנטים לפלוקציות, הקשר הזה מתבקש וטבעי, ממש על פי ההגדרה: מכיוון שהוא מתייחס גם ל-x וגם לשטח תחת העקום - כפלואנטים, אז: השינוי ב-y ביחס לשינוי x הוא המשיק, וגם השינוי בשטח ביחס לשינוי x הוא - y!
קורי: זה אופייני מאד להיסטוריה של המתמטיקה - אחרי תהליך ארוך וקשה של עליה, הרגע הגדול ביותר - מגיע בשקט, כ"אנטי-קליימקס".
ואז הוא גילה שניתן לחשב שטחים (- אינטגרלים) לא רק ע"י טורים אינסופיים, אלא - גם ע"י נוסחאות סופיות; ואז תרם טבלה (כנראה הראשונה אי פעם - אם כי היה לו ויכוח עם לייבניץ - להלן[52]) של אינטגרלים. הטבלה גדולה ומפורטת - אך אין בה פונקציות sin, cos, ln, e.
1687: עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע, גם אותו נדחף לפרסם ע"י חבריו. אחד הספרים החשובים במדע, נפתח בדומה לספרים הקדומים ולא למתמטיקאים הסמוכים לדורו. מדוע? 1. פחד מביקורת על "שפה חדשה" שפיתח - הלך על בטוח; האם הקלקולוס שלו עזר לו לפתח את הפיסיקה (כמו ארכימדס והמתודה)?
הזכיר את מושג ה"גבול", ללא הגדרה ממש, וטען בזכותו בדרך השלילה - שאם אין כזה, אז גם לא תיתכן תנועה (כמו זנון מאליאה!), ולא תיתכן עצירה של תנועה. יש בו עודף מלל, ש(קורי): מעיד על הבנה לא מושלמת. בכל זאת, למרות שהוא כתוב ונטוע בשפה של המאה ה-17, הוא ספר נפלא, שמסביר את הקשר בין המתמטיקאי לפיסיקאי שבניוטון.
יש תהייה מתמטית על חוקי התנועה של ניוטון: נראה שהחוק הראשון נכלל בשני! וכך זה נראה בניסוח המודרני של החוקים: , אם כי בשפתו (הפרופורציונית) של ניוטון, מבחינה היסטורית, זה לא נראה.
בארו העדיף את הגאומטריה; ניוטון התלהב בתחילה מספרו של דקארט, שבו האלגברה דומיננטית, ואח"כ שככה תמיכתו והפכה ליריבות. הפיסיקה של דקארט (האתר (פיזיקה) וכו') שלטה עד תחילת המאה ה-18, והמכניקה של ניוטון הייתה צריכה להתחרות קשות עד שניצחה. הוא מעדיף את הגאומטריה, כי היא מגלה את ההיררכיה האמיתית של הבעיות: למשל, מעגל פשוט יותר לתיאור (באותה רמה של ישר) מפרבולה - למרות שאלגברית, הפרבולה (כלומר משוואתה) פשוטה יותר. ולמרות שחישובים אלגבריים (חילוק, צמצום, וכולל אלה שהוא פיתח - יחסי פלואנטים ופלוקציות) הם פשוטים יותר - אין להם מקום בגאומטריה! דווקא השיקולים הגאומטריים מפשטים (...) את החישובים האלגבריים המסובכים (אינקומנסורביליות וכו'), ואין לערבב בין השניים!
ספר מ-1707: אריתמטיקה אוניברסלית, שלא התכוון לפרסם כי לא היה מרוצה מנוסחו; אוסף מאמרים פרקטיים, דוגמאות במקום תאוריה, השפעה עצומה באירופה. מספר הוא, לא "אוסף של יחידות (אוקלידס), אלא: מנה, של שני גדלים מאותו סוג, שהשני הוא אחדה. שלמים: האחדה מודדת אותם במדויק; שברים נמדדים במדויק ע"י חלק מהאחדה; ואי-רציונליים (surds) אין להם מידה משותפת איתה. הופיע כבר אצל ואליס, אבל כאן בפעם הראשונה באופן מתומצת ומסודר, ומכאן ואילך - הניסוח של ניוטון הוא הסטנדרט (כל הגדרה של ניוטון מופיעה מילה במילה בהאנציקלופדיה הגדולה של עידן האורות).
נסמן 3 פונקציות: א. קדומה ביותר: ; ב. ; ג. "". בהתייחס ל-y כפונקציה ה"מרכזית", הוא חישב את:
הבדל תפיסתי בין היוונים, קווליירי, ניוטון ולייבניץ:
הרעיון של dx, dy, ds כגדלים גאומטריים שניתן, בהתאם לנוחות, לעשות עליהם פעולות אריתמטיות - איפשר להגיע למשוואות דיפרנציאליות שונות - מאותה הגדרה מתמטית, ע"י בחירות שונות של מי הוא ה-d הקבוע: dx, dy או אחר; ממשיכיו של לייבניץ ניצלו זאת ביעילות לפתרון בעיות קשות.
ממשיכי דרכו: ?
ניוטון פיתח את רעיונות הקלקולוס בערך ב-1670, שלח אותם לקולינס מהחבורה, אך פרסם רק ב-1687. לייבניץ פיתח את שלו אחריו, אך פרסם כבר ב-1684. ניוטון, שבתחילה העריך וכיבד את לייבניץ ואף שיתף איתו תוצאות חשובות, שמע שבניגוד לאנגליה - ביבשת מייחסים את רעיונותיו ללייבניץ (שבעצמו לא טען זאת, כנראה). ב-1699 נטען, שב-1671 כשלייבניץ פגש את קולינס, הציץ בניירות של ניוטון, וגנב את רעיונותיו. החברה המלכותית מינתה ועדת חקירה (ניוטון כבר היה הנשיא) - שקבעה שזה נכון. האמת - לייבניץ לא ראה את המכתבים, וזה מקרה של גילוי סימולטני; עובדה, שסגנון הפיתוח וכיוונו שונה ביניהם. בעקבות כך, ניוטון מחק במהדורה ה-3 של הפרינקיפה את השבחים ללייבניץ. הבריטים נצמדו לשיטות ניוטון ל-100 השנה הבאות, ובכך הגבילו ומנעו עצמם ממשוואות חלקיות ומדיפרנציאלים; ביבשת המשיכו בעקבות לייבניץ. עד שבמאה ה-19 לבריטים בבג', הרשל ו-Peacock מקיימברידג' נמאס מהפיגור על רק לאומני, לקחו ספר של Lacroix הצרפתי ותרגמו (פיקוק) לאנגלית. הסכסוך כנראה עיכב את פיתוח הקלקולוס לזמן רב.
נושא במחלוקת עניינית ביניהם היה: הזמן והמרחב. ניוטון טען לזמן ומרחב מוחלטים - לייבניץ סבר שהם קיימים רק באשר מתרחש בהם משהו; זה התאים אצלו למושג הגדלים הקטנים לאינסוף רק בהשוואה לגדלים "רגילים", ולא אינפיניטסימליים באופן מוחלט.
ניוטון זכה לכבוד: 1705 תואר אבירות, סיר. 1727 נקבר במנזר וסטמינסטר בטקס מפואר, בנוכחות אורחים מחו"ל; לייבניץ נקבר לבד, רק מזכירו מלווה. אחרי שנכשל בהרבה תוכניות. אבל דני דידרו כינהו "אבי האופטימיזם" ("הטוב שבכל העולמות האפשריים"); וולטר (שתיעב אותו?) כתב זאת בקנדיד.
של ניוטון:
של לייבניץ:
משתמש:Avneref/מדע/משפחת ברנולי
מייצג את שיא ההתפתחות המתמטית במאה ה-18. הפך את הקלקולוס מגירסת ניוטון ולייבניץ, למה שמוכר כיום. כתב מאות מחקרים. העמיד את רעיון הפונקציה במרכז הקלקולוס, כמושג נפרד מהגאומטריה - בעיניו היא רק "שימוש" של הקלקולוס. עשה דבר דומה לתורת המספרים[55], אם כי גאוס (1800) הציג אותה לראשונה באופן מקיף.
ספרים:
ספרו "תאוריות על פונקציות אנליטיות, 1789 "Théorie des fonctions analytiques" הוא הראשון בו מופיע הגבול בקירבה לצורה של היום, ונפתחה הדרך לקושי, ויירשטראס, דדקינד.
אז התגבשו הסימונים המקובלים כיום (כולל המושג "נגזרת": Dérivée, והסימון: ) קורי: זה חשוב - כי בד"כ הבנה שלמה של מושג, הפנמה, שימוש נכון, וסימון שלו - מופיעים בערך ביחד.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.