אלגברה דיפרנציאלית

במתמטיקה, חוג דיפרנציאלי, שדה דיפרנציאלי ואלגברה דיפרנציאלית הם חוגים, שדות ואלגבראות המצוידים בגזירה, שהיא פעולה אונארית שהיא ליניארית ומקיימת את כלל לייבניץ. דוגמה טבעית לשדה דיפרנציאלי הוא שדה הפונקציות הרציונליות ${\displaystyle \,\mathbb {C} (t)}$ במשתנה אחד מעל ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$, כאשר הגזירה היא פעולת הנגזרת ביחס למשתנה t.

חוגים דיפרנציאלים

חוג דיפרנציאלי הוא חוג R ביחד עם העתקה ${\displaystyle \,d:R\to R}$ המכונה "גזירה", המקיימת:

• ליניאריות: לכל ${\displaystyle \,x,y\in R}$ מתקיים ${\displaystyle \,d(x+y)=d(x)+d(y)}$.
• כלל לייבניץ: לכל ${\displaystyle \,x,y\in R}$ מתקיים ${\displaystyle \,d(x\cdot y)=x\cdot d(y)+d(x)\cdot y}$

ייתכן כי החוג R אינו קומוטטיבי ולכן ייתכן כי הביטוי המוכר לכלל לייבניץ d(xy) = xdy + ydx הוא שגוי מעל חוג דיפרנציאלי כללי.

שדות דיפרנציאלים

באופן דומה, אם F הוא שדה וd היא גזירה, מכנים את הזוג ${\displaystyle \,(F,d)}$ - שדה דיפרנציאלי. ניתן להוכיח בעזרת כלל לייבניץ כי הזהות המוכרת ${\displaystyle \,d\left({\frac {x}{y}}\right)={\frac {d(x)y-xd(y)}{y^{2}}}}$ מתקיימת בכל שדה דיפרנציאלי.

אוסף האיברים בF שנגזרתם היא אפס: ${\displaystyle \,\{x\in F:d(x)=0\}}$ הוא שדה המכונה שדה הקבועים של F.

ראו גם

• תורת גלואה הדיפרנציאלית
• אלגברה דיפרנציאלית מדורגת
• הרחבת פיקאר-וזו

לקריאה נוספת

• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

קישורים חיצוניים

• אלגברה דיפרנציאלית, באתר MathWorld (באנגלית)