פונקציה ליניארית

במתמטיקה, המונח פונקציה לִינֵאָרִית מתייחס לשני מושגים שונים אך קשורים:

• בחדו"א ובגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית (או פונקציה קווית) היא פונקציה שהגרף שלה הוא קו ישר לא אנכי.
• באלגברה ליניארית, אנליזה מתמטית, ואנליזה פונקציונלית, פונקציה ליניארית היא העתקה ליניארית.

פונקציה ליניארית (כפולינום)

גרפים של שלוש פונקציות ליניאריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (a), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (b)

בחדו״א, גאומטריה אנליטית ותחומים קרובים, פונקציה ליניארית היא פולינום מדרגה 1 (או פחות, לרבות פולינום האפס).

פונקציה ליניארית היא מהצורה ${\displaystyle f(x)=ax+b}$, כאשר ${\displaystyle a}$ ו- ${\displaystyle b}$ הם קבועים, לרוב מספרים ממשיים.

הגרף של הפונקציה של משתנה יחיד הוא ישר לא אנכי החותך את ציר ה-${\displaystyle y}$ בדיוק פעם אחת בנקודה ${\displaystyle (x,y)=(0,b)}$.

${\displaystyle a}$ נקרא השיפוע של הישר, ו־${\displaystyle b}$ נקודת החיתוך עם ציר ה־${\displaystyle y}$.

• אם ${\displaystyle a\neq 0}$ אז הגרף הוא ישר לא אופקי החותך את ציר ה-${\displaystyle x}$ בדיוק פעם אחת בנקודה ${\displaystyle (x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0)}$. הערך ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}}}$ הוא פתרון המשוואה ${\displaystyle f(x)=0}$, הנקרא גם השורש של ${\displaystyle f(x)}$.
  • אם ${\displaystyle a>0}$ אז שיפוע הגרף הוא חיובי והגרף עולה.
  • אם ${\displaystyle a<0}$ אז שיפוע הגרף הוא שלילי והגרף יורד.

• אם ${\displaystyle a=0}$ ^[1] אז זוהי פונקציה קבועה ונחשבת לפונקציה ליניארית, שכן היא פולינום מדרגה אפס או פולינום האפס, והגרף שלה הוא קו ישר אופקי.

אם ${\displaystyle b=0}$, אז הפונקציה הליניארית נקראת הומוגנית, והגרף שלה חותך את ראשית הצירים.^[2]

ניתן להכליל עבור מספר רב של משתנים, עבור פונקציה מהצורה ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$, הנוסחה הכללית היא

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k}}$

והגרף שלה הוא היפר-מישור מממד k.

מציאת משוואת ישר: צורות שיפוע-חיתוך, נקודה-שיפוע ושתי נקודות

פונקציה ליניארית נתונה ${\displaystyle f(x)}$ ניתנת לכתיבה במספר צורות המציגות את תכונותיה השונות. הפשוטה ביותר היא שיפוע-חיתוך:

${\displaystyle f(x)=ax+b}$,

ממנה ניתן לראות מיד את השיפוע ${\displaystyle a}$ ואת הערך ההתחלתי ${\displaystyle f(0)=b}$, שהוא נקודת החיתוך עם ציר ה-${\displaystyle y}$ של הגרף ${\displaystyle y=f(x)}$.

בהינתן שיפוע ${\displaystyle a}$ וערך ידוע אחד ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$, נכתוב את הפונקציה בצורת נקודה-שיפוע:

${\displaystyle f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}}$.

זהו ישר ${\displaystyle y=f(x)}$ בעל שיפוע ${\displaystyle a}$ העובר דרך הנקודה ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

צורה נוספת, בהינתן שתי נקודות ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ ו-${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$. מחשבים את השיפוע ${\displaystyle a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$ ומציבים אותו בצורה של שיפוע-חיתוך:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0})+y_{0}}$.

הגרף שלה ${\displaystyle y=f(x)}$ הוא הישר היחיד העובר דרך הנקודות ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1})}$. ניתן גם לכתוב את המשוואה ${\displaystyle y=f(x)}$ בצורה המדגישה את קבוע השיפוע:

${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$.

קשר למשוואות ליניאריות

פונקציות ליניאריות עולות בדרך כלל מבעיות מעשיות הכוללות משתנים ${\displaystyle x,y}$ עם קשר ליניארי, כלומר, המצייתים למשוואה ליניארית ${\displaystyle Ax+By=C}$.

אם ${\displaystyle B\neq 0}$, ניתן לפתור משוואה זו עבור y, ולקבל: ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b}$ כאשר מסמנים ${\displaystyle a=-{\tfrac {A}{B}}}$ ו-${\displaystyle b={\tfrac {C}{B}}}$. כלומר, ניתן להתייחס ל-${\displaystyle y}$ כמשתנה תלוי (פלט) המתקבל מהמשתנה הבלתי תלוי (קלט) x באמצעות פונקציה ליניארית: ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$. במישור הקואורדינטות xy, הערכים האפשריים של ${\displaystyle (x,y)}$ יוצרים קו, הגרף של הפונקציה ${\displaystyle f(x)}$.

אם ${\displaystyle B=0}$ במשוואה המקורית, הישר המתקבל ${\displaystyle x={\tfrac {C}{A}}}$ הוא אנכי, ולא ניתן לכתוב אותו כ-${\displaystyle y=f(x)}$, ואינו גרף של פונקציה.

דוגמאות לשימושים מעשיים

כפי שהוסבר הפונקציה הליניארית מתארת יחס קבוע בין שני משתנים, במילים אחרות, כל משתנה התלוי במכפלת משתנה אחר בקבוע. לדוגמה, אם נתון שכיכר לחם עולה שני שקלים, הסכום שישולם תלוי ביחס ישיר לכמות הכיכרות. במקרה זה התמונה (y) היא הסכום שישולם, המקור (x) הוא מספר הכיכרות והיחס הקבוע (m) הוא מחיר הלחם, שני שקלים. הגרף שיתאר את הסכום הכללי כפונקציית הכיכרות יהיה ליניארי. פונקציה מהסוג ${\displaystyle \ y=mx}$ נקראת יחס ישר.

דוגמאות מעשיות נוספות:

• במכניקה קלאסית- הדרך (x) כפונקציית הזמן (t) או המהירות (v) (במהירות קבועה): ${\displaystyle \!\,x=vt+x_{0}}$
• בתנועה מעגלית- המהירות זוויתית (ω) כפונקציית (f) התדירות: ${\displaystyle \!\,\omega =2\pi f}$
• בחוק אוהם- המתח (V) כפונקציית הזרם (I) או (R) ההתנגדות החשמלית: ${\displaystyle \!\,V=RI}$

פונקציה ליניארית (כהעתקה ליניארית)

ערך מורחב – העתקה ליניארית

באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית (הנקראת גם העתקה ליניארית) בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:

• אדיטיביות: ${\displaystyle \!\,f(x+y)=f(x)+f(y)}$
• הומוגניות מסדר 1: ${\displaystyle \!\,f(\alpha x)=\alpha f(x)}$

כאשר ${\displaystyle x}$ ו-${\displaystyle y}$ וקטורים במרחב ו-${\displaystyle \!\ \alpha }$ מייצג קבוע בשדה סקלרי כלשהו (למשל, שדה המספרים הממשיים), שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים. במילים אחרות, פונקציה ליניארית שומרת על חיבור וקטורי וכפל בסקלר.

ראו גם

• העתקה ליניארית
• משוואה ליניארית (ובפרט הפרק על משוואות המתארות קווים ישרים)
• ישר

קישורים חיצוניים

• פונקציה קווית, אתר לרגו