הזזה (גאומטריה)

בגאומטריה אוקלידית, הזזה היא העתקה גאומטרית המזיזה כל נקודה במרחב במרחק ובכיוון זהים. אפשר לפרש הזזה כהוספה של וקטור קבוע לכל נקודה, או כהזזה של הראשית של מערכת הצירים. הזזה היא איזומטריה והעתקה אָפִינִית.

הזזה מזיזה כל נקודה במרחב במרחק ובכיוון זהים, כך שגוף עליו פועלת ההזזה שומר על צורתו ומבנהו.

כפונקציה

אם ${\displaystyle v}$ הוא וקטור קבוע (וקטור ההזזה), ו-${\displaystyle p}$ הוא המיקום ההתחלתי של גוף מסוים, אז פונקציית ההזזה ${\displaystyle T_{v}}$ פועלת כך: ${\displaystyle T_{v}(p)=p+v}$.

ייצוג מטריציוני

על מנת לייצג הזזה של מרחב וקטורי בעזרת כפל מטריצות יש לכתוב את הווקטור התלת־ממדי ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ באמצעות 4 קואורדינטות הומוגניות כ- ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$. ואז, עבור הזזה בווקטור v של וקטור הומוגני כלשהו p, ניתן להשתמש בהכפלה במטריצת ההזזה:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

כפי שמוצג להלן, הכפל ייתן את התוצאה הצפויה:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

ניתן לקבל את ההזזה ההופכית של מטריצת ההזזה על ידי היפוך כיוון הווקטור:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }}$

באופן דומה, המכפלה של מטריצות הזזה נתונה על ידי הוספת הווקטורים:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }}$

כיוון שהוספת וקטורים היא קומוטטיבית, הכפל של מטריצות הזזה הוא לכן גם קומוטטיבי (בניגוד לכפל של מטריצות שרירותיות).

תכונות

הזזה משמרת וקטורים, ולכן היא גם משמרת זוויות וצורות. בנוסף, הזזה של ישר משמרת את כיוונו.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הזזה בוויקישיתוף

• הזזה, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.