פעולה קומוטטיבית

פעולה קומוטטיבית או פעולה חילופית היא פעולה בינארית המקיימת את התנאי ${\displaystyle \ a*b=b*a}$ לכל a, b (כאשר * הוא הסימן לפעולה).

פעולת החיבור של מספרים, למשל, היא פעולה קומוטטיבית, משום שלכל שני מספרים a,b מתקיים ${\displaystyle \ a+b=b+a}$. פעולת החיסור, לעומת זאת, אינה קומוטטיבית, משום שלמשל ${\displaystyle \ 3-5\neq 5-3}$.

קומוטטיביות (או העדרה) היא אחת התכונות הבסיסיות ביותר של מבנים אלגבריים. במבנים אלגבריים בעלי שתי פעולות בינאריות, כגון חוגים או שדות נהוג לסמן את הפעולה הקומוטטיבית הבסיסית בסימן + המשמש לחיבור מספרים. חבורה שבה הפעולה קומוטטיבית נקראת "חבורה אבלית" על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל שתרם לפיתוח תורת החבורות.

גם כאשר הפעולה ${\displaystyle *}$ אינה חילופית, נאמר על שני איברים כי הם מתחלפים ביחס אליה אם מתקיים ${\displaystyle \ a*b=b*a}$.

היעדר תלות באסוציאטיביות

אין קשר ישיר בין קומוטטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, אסוציאטיביות:

• ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים, AND, OR, XOR, XNOR).
• ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, NOR ,NAND).
• ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי ${\displaystyle \ a\#b=a}$ או ${\displaystyle \ a\$b=b}$, או כפל מטריצות).
• ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק).

ראו גם

• פונקציה סימטרית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פעולה קומוטטיבית בוויקישיתוף

• פעולה קומוטטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)