התפלגות קושי

התפלגות קוֹשִי (Cauchy), על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, היא התפלגות רציפה בעלת חשיבות במתמטיקה ובמספר תחומים בפיזיקה. בקרב פיזיקאים ההתפלגות מכונה לעיתים התפלגות לורנץ (Lorentz), התפלגות ברייט-ויגנר (Breit-Wigner) או לורנציאן.

התפלגות קושי

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	${\displaystyle \ x_{0}}$ החציון, ${\displaystyle \ \gamma }$ סקלה
תומך	${\displaystyle \ \mathbb {R} }$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\displaystyle {1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$
תוחלת	לא מוגדרת
סטיית תקן	לא מוגדרת
חציון	${\displaystyle \ x_{0}}$
ערך שכיח	${\displaystyle \ x_{0}}$
שונות	לא מוגדרת
אנטרופיה	${\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )\!}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	לא מוגדרת
פונקציה אופיינית	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$
צידוד	לא מוגדר
גבנוניות	לא מוגדרת

הגדרה

התפלגות קושי מוגדרת כהתפלגות רציפה בעלת פונקציית צפיפות ההסתברות:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}}$

כאשר ${\displaystyle x_{0}}$ הוא פרמטר מיקום, אשר קובע את החציון של ההתפלגות, ואילו ${\displaystyle \gamma }$ הוא פרמטר סקלה, אשר קובע את רוחב ההתפלגות ובהתאם את גובה הערכים. בגבול שבו ${\displaystyle \gamma \rightarrow 0}$ תתקבל פונקציית הדלתא של דיראק.

המקרה הפרטי של התפלגות קושי עם פרמטרים ${\displaystyle x_{0}=0}$ ו־${\displaystyle \gamma =1}$ נקרא התפלגות קושי סטנדרטית, עם צפיפות התפלגות:^[1][2]

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$.

תכונות

תכונה יוצאת דופן של התפלגות קושי היא שהתוחלת והשונות שלה אינם מוגדרים, כמו גם המומנטים מסדר גבוה יותר. לעומת זאת, החציון והשכיח מוגדרים ושניהם שווים ${\displaystyle x_{0}}$.

סכום של משתנים מקריים המתפלגים קושי

אם ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות שנדגמו מהתפלגות קושי סטנדרטית, ממוצע המדגם שלהם ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}}$ מתפלג קושי סטנדרטית. בפרט, הממוצע אינו מתכנס לתוחלת, ואכן התפלגות קושי אינה מקיימת את חוק המספרים הגדולים. ההוכחה של תכונה זו אפשרית על ידי אינטגרציה של פונקציית צפיפות ההסתברות או על ידי שימוש בפונקציה האופיינית של התפלגות קושי הסטנדרטית:$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}}$$עבור סכום הדגימות מקבלים ${\displaystyle \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|}}$ כלומר ${\displaystyle {\bar {X}}}$ הוא משתנה מקרי בעל התפלגות קושי סטנדרטית.

באופן כללי יותר, אם ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ הם משתנים בלתי-תלויים בעלי התפלגות קושי עם פרמטרי מיקום ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ופרמטרי סקלה ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$ ו־${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ הם מספרים ממשיים אזי ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}X_{i}}$ מתפלג קושי עם פרמטר מיקום ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}x_{i}}$ וסקאלה ${\displaystyle \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}}$. כלומר חוק המספרים הגדולים אינו מתקיים עבור סכום משוקלל של משתני קושי בלתי תלויים.

פונקציה אופיינית

יהי ${\displaystyle X}$ משתנה מקרי המתפלג קושי. הפונקציה האופיינית של התפלגות קושי ניתנת על ידי:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}}$

שאינו אלא התמרת פורייה של צפיפות ההסתברות. באופן דומה ניתן להביע את פונקציית צפיפות ההסתברות במונחי הפונקציה האופיינית על ידי התמרת פורייה ההפוכה:

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}$.

המומנט ה-n של ההתפלגות מתקבל מהצבת ${\displaystyle t=0}$ בנגזרת ה-n של הפונקציה האופיינית. הפונקציה האופיינית אינה גזירה בראשית הצירים. ואכן המומנטים של התפלגות קושי אינם מוגדרים פרט למומנט האפס.

דיברגנץ קולבק-לייבלר

ניתן להביא את דיברגנץ קולבק-לייבלר בין שתי התפלגויות קושי עם פרמטרים ${\displaystyle x_{0,1},\gamma _{1}}$ ו־${\displaystyle x_{0,2},\gamma _{2}}$ כנוסחה סגורה סימטרית:^[3]

${\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{x_{0,1},\gamma _{1}}:p_{x_{0,2},\gamma _{2}}\right)=\log {\frac {\left(\gamma _{1}+\gamma _{2}\right)^{2}+\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)^{2}}{4\gamma _{1}\gamma _{2}}}}$.

אנטרופיה

האנטרופיה הדיפרנציאלית של התפלגות קושי נתונה על ידי:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}}$

הנגזרת של פונקציית השברונים של התפלגות קושי היא:

${\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \,\pi \,{\sec }^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]}$.

ניתן להגדיר את האנטרופיה של התפלגות במונחים של פונקציית השברונים שלה.^[4] באופן ספציפי:

${\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )}$.

בניות

דגימה מהתפלגות קושי

אם עומדים מול קו ובועטים כדור לעבר הקו בזווית אקראית המתפלגת באופן אחיד בין 90- ל-90+ מעלות, ההתפלגות של הנקודה שבה פוגע הכדור בקו היא התפלגות קושי.

באופן פורמלי, תהי נקודה ${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$ במישור x-y. נבחר קו העובר דרך הנקודה, כך שהזווית שלו ביחס לציר ${\displaystyle x}$ נבחרת באופן באופן אחיד (בין 90°- ל-90°+) באקראי. נקודת החיתוך של הישר עם ציר ${\displaystyle x}$ הוא מתפלגת קושי עם פרמטר מיקום ${\displaystyle x_{0}}$ ופרמטר סקאלה ${\displaystyle \gamma }$.

הגדרה זו נותנת דרך פשוטה לדגום מהתפלגות קושי סטנדרטית. תהי ${\displaystyle u}$ דגימה מהתפלגות אחידה רציפה מהקטע ${\displaystyle [0,1]}$. אזי ניתן ליצור דגימה ${\displaystyle x}$ מהתפלגות קושי סטנדרטית על ידי:

${\displaystyle x=\tan \left(\pi (u-{\frac {1}{2}})\right)}$.

לחלופין, אם ${\displaystyle U}$ ו־${\displaystyle V}$ הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1 אז המנה ${\displaystyle U/V}$ מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית. ובאופן כללי, אם ל-${\displaystyle (U,V)}$ סימטריה סיבובית במישור סביב ראשית הצירים, אזי המנה ${\displaystyle U/V}$ מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית.

פונקציית צפיפות התפלגות

פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות קושי היא:^[5][6]

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]}$

כאשר ${\displaystyle x_{0}}$ הוא פרמטר המיקום (והשכיח של ההתפלגות) ו־${\displaystyle \gamma }$ הוא פרמטר הסקאלה. ${\displaystyle 2\gamma }$ הוא רוחב חצי המקסימום (FWHM) של התפלגות קושי. אוגוסטן לואי קושי השתמש בפונקציית צפיפות כזו עם פרמטר קנה מידה אינפיניטסימלי, והגדיר את מה שמכונה כעת פונקציית דלתא של דיראק.

המקסימום של פונקציית הצפיפות של התפלגות קושי הוא ב-${\displaystyle x=x_{0}}$ וערכו ${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma }}}$.

פונקציית התפלגות מצטברת

פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות קושי היא:

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

ופונקציית השברונים (הפונקציה ההופכית לה) היא:

${\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]}$.

הרבעון הראשון והשלישי הם ${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma )}$, ומכאן ${\displaystyle 2\gamma }$ הוא הטווח הבין-רבעוני של ההתפלגות.

הקשר להתפלגות t

התפלגות קושי סטנדרטית היא התפלגות t עם דרגת חופש אחת, כך שניתן לבנותה בכל שיטה שבה משתמשים לבניית התפלגות t.^[7]

שיערוך פרמטרים

הממוצע והשונות של התפלגות קושי אינם מוגדרים. משום כך, בהינתן מדגם של התפלגות קושי, לא ניתן לשערך את הפרמטרים של ההתפלגות באמצעות ממוצע ושונות המדגם.^[8] ואכן, ניתן לחשב את הממוצע של מדגם של n דוגמאות בלתי-תלויות ושוות-התפלגות מהתפלגות קושי כך:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

אף על פי שערכי הדגימות ${\displaystyle x_{i}}$ יתרכזו סביב ${\displaystyle x_{0}}$, ממוצע המדגם לא יתכנס כאשר מגדילים את הערך של n. זאת מפני שההסתברות לדגימה ${\displaystyle x}$ עם ערך מוחלט גדול, הולכת וגדלה. למעשה, התפלגות ממוצע המדגם תהיה שווה להתפלגות התצפיות עצמן; כלומר, ממוצע המדגם של מדגם גדול אינו טוב יותר (או גרוע יותר) משערוך הערך של ${\displaystyle x_{0}}$ מכל תצפית בודדת במדגם. באופן דומה, חישוב שונות המדגם יביא לערכים שיגדלו ככל שיגדל מספר התצפיות.

זו הסיבה שיש צורך בשיטות אחרות לשיערוך פרמטר המיקום ${\displaystyle x_{0}}$ ופרמטר קנה המידה ${\displaystyle \gamma }$. שיטה פשוטה אחת היא לקחת את הערך החציוני של המדגם כאומד של ${\displaystyle x_{0}}$, וחצי מהטווח הבין-רבעוני כאומד של ${\displaystyle \gamma }$. פותחו גם שיטות אחרות, מדויקות וחזקות יותר, שלעיתים נותנות תוצאות מדויקות בהרבה,^[9][10] למשל הממוצע המקוטע (אנ') של 24% הדגימות המרכזיות מהמדגם, מייצר אומד של ${\displaystyle x_{0}}$ מדויק יותר מחציון המדגם.^[11]

ניתן להיעזר בשיטת הנראות המקסימלית כדי לאמוד את הפרמטרים ${\displaystyle x_{0}}$ ו־${\displaystyle \gamma }$. עם זאת, זה גישה זו מורכבת, מכיוון שהיא דורשת מציאת השורשים של פולינום מסדר גבוה, ושורשים מרובים ייצגו נקודות מקסימה מקומיות.^[12] כמו כן, בעוד שמעריך הנראות המקסימלית יעיל אסימפטוטית, הוא אינו יעיל יחסית עבור מדגמים קטנים.^[13][14] פונקציית הלוג-נראות עבור התפלגות קושי למדגם בגודל ${\displaystyle n}$ היא:

${\displaystyle {\hat {\ell }}(x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}$

גזירה של פונקציית הנראות ביחס ל-${\displaystyle x_{0}}$ ול-${\displaystyle \gamma }$ והשוואת הנגזרות לאפס נותנות את המשוואות הבאות:

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dx_{0}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0})}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d\ell }{d\gamma }}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma (\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2})}}-{\frac {n}{\gamma }}=0}$

כאשר נשים לב כי במשוואת הנגזרת ביחס ל-${\displaystyle \gamma }$ הביטוי:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}}$

היא פונקציה מונוטונית של ${\displaystyle \gamma }$ וכי הפתרון עבור ${\displaystyle \gamma }$ חייב לקיים:

${\displaystyle \min |x_{i}-x_{0}|\leq \gamma \leq \max |x_{i}-x_{0}|}$.

הפתרון עבור ${\displaystyle x_{0}}$ דורש מציאת השורשים של פולינום מסדר ${\displaystyle 2n-1}$.^[12] הפתרון עבור ${\displaystyle \gamma }$ דורש מציאת השורשים של פולינום מסדר ${\displaystyle 2n}$. לכן בדרך כלל יהיה צורך להיעזר בשיטות נומריות. היתרון של שיערוך נראות מקסימלית הוא יעילות אסימפטוטית גבוהה יותר, שמתרגמת לשונות נמוכה יותר של האומד; הערכת ${\displaystyle x_{0}}$ באמצעות חציון המדגם היא רק כ-81% יעילה מבחינה אסימפטוטית ביחס אומדן ${\displaystyle x_{0}}$ לפי הסבירות המקסימלית.^[11][15] ממוצע המדגם הקטוע המבוסס על 24% הדגימות המרכזיות יעיל אסימפטוטית בכ-88% יעיל ביחס למשערך הנראות המקסימלית של ${\displaystyle x_{0}}$.^[11]

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות קושי בוויקישיתוף

• התפלגות קושי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• התפלגות קושי, באתר MathWorld (באנגלית)
• התפלגות קושי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)