העתקה אפינית

במתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, העתקה אפינית או טרנספורמציה אפינית (מלטינית, affinis, "מחובר עם") היא פונקציה בין מרחבים אוקלידיים (או באופן כללי יותר מרחבים אפינים) אשר מעבירה ישרים מקבילים לישרים מקבילים.^[1][2] העתקה אפינית אינה שומרת בהכרח על זוויות בין ישרים או מרחק בין נקודות, אך משמרת יחסי המרחקים בין כל שלוש נקודות קו-ליניאריות.

העתקות אפיניות כוללות בין היתר פעולות הזזה, הומותטיה, שיקוף, סיבוב, גזירה והרכבה שלהן בכל סדר שהוא. הן מהוות הכללה של העתקות ליניאריות בכך שהן בנויות מהרכבה של העתקה ליניארית ופעולת הזזה.

העתקות אפיניות בין מרחבים אפיניים הן העתקות ששומרות על המבנה האפיני.

סימונים

בערך זה נסמן ב-${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ו-${\displaystyle C}$ קבוצות של נקודות.

נסמן ב-${\displaystyle F}$ שדה כלשהו, כאשר לרוב ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$, שהוא שדה הממשיים. נסמן ב-${\displaystyle 0}$ ו-${\displaystyle 1}$ את איבר האפס ואיבר היחידה של השדה ${\displaystyle F}$ בהתאמה.

נסמן ב-${\displaystyle {\vec {A}}}$, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ו-${\displaystyle {\vec {C}}}$ מרחבים וקטוריים מעל ${\displaystyle F}$.

נסמן את פעולת החיבור ${\displaystyle +}$ הן כפעולת החיבור בין הווקטורים במרחב הווקטורי והן כפעולה בין נקודה לווקטור במרחב האפיני. ההבדל בין שתי הפעולות יהיה תלוי בהקשר.

נסמן ב-${\displaystyle 0}$ את וקטור האפס במרחבים וקטורים, כאשר נבדיל בין איבר האפס ב-${\displaystyle F}$ לווקטור האפס במרחב הווקטורי על פי ההקשר.

מוטיבציה

תמונה של שרך פרקטלי, המציג דמיון אפיני. ניתן לקבל את כל אחד מעלי השרך מכל עלה אחר על ידי העתקה אפינית. כך, למשל, העלה האדום יכול להפוך לעלה הכחול-כהה על ידי שילוב של שיקוף, סיבוב, שינוי קנה מידה והזזה; בנוסף, הוא יכול להפוך באותה דרך גם לעלה הכחול הבהיר (הגדול).

מרחבים וקטורים יכולים לייצג מרחב גאומטרי מנקודת מבטו של צופה בראשית הצירים. העתקה ליניארית בין שני מרחבים וקטורים יכולה לייצג מגוון של פעולות על אותם מרחבים כגון סיבוב, שיקוף, מתיחה וכו'.

בגלל שכל העתקה ליניארית מעתיקה את וקטור האפס לעצמו, העתקות ליניאריות אינן יכולות לשנות את ראשית הצירים. לכן, לא ניתן לייצג פעולות של הזזה באמצעות העתקות ליניאריות.

כדי לענות על צורך זה, ניתן להגדיר מרחב אפיני שבו לא קיימת ראשית צירים. במרחב זה כל נקודה מתפקדת כראשית, והמרחב הווקטורי מהווה פעולה על קבוצת הנקודות. כעת, בהיעדר ראשית צירים, ניתן להגדיר פונקציה בין שני מרחבים אפינים שמשמרת תכונות כגון קו-ליניאריות, ישרים מקבילים וכו'. ניתן להוכיח שכאשר העתקה אפינית מתבצעת ממרחב אפיני לעצמו, היא תמיד הרכבה של העתקה ליניארית ביחס לנקודה ארעית במרחב עם פעולת הזזה.

הגדרה מתמטית

בהינתן זוג מרחבים אפינים ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ ו-${\displaystyle (B,{\vec {B}})}$ מעל ${\displaystyle F}$, הפונקציה ${\displaystyle f\colon A\to B}$ תקרא העתקה אפינית אם ורק אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:^[3][4]

1. קיימת העתקה ליניארית ${\displaystyle {\vec {f}}:{\vec {A}}\to {\vec {B}}}$ כך שלכל ${\displaystyle a\in A}$ ולכל ${\displaystyle {\vec {v}}\in {\vec {A}}}$ מתקיים ש-${\displaystyle f(a+{\vec {v}})=f(a)+{\vec {f}}({\vec {v}})}$.
2. ${\displaystyle f}$ משמרת מרכז כובד: לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ טבעי, אוסף ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ו-${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in F}$ המקיימים ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$, מתקיים ש-${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})}$

ניתן להוכיח כי לכל העתקה אפינית ${\displaystyle f}$, ההעתקה הליניארית ${\displaystyle {\vec {f}}}$ כפי שהוגדרה לעיל מוגדרת היטב ויחידה. ${\displaystyle {\vec {f}}}$ תקרא ההעתקה הליניארית התואמת ל-${\displaystyle f}$.

במקרה שבו הפונקציה ${\displaystyle f}$ היא העתקה אפינית ממרחב אפיני לעצמו היא תקרא אנדומורפיזם.

העתקה אפינית הפיכה בין שני מרחבים אפינים נקראת איזומורפיזם, ושני מרחבים אפיניים שקיים ביניהם איזומורפיזם נקראים מרחבים איזומורפיים. אנדומורפיזם שהוא גם איזומורפיזם נקרא אוטומורפיזם.

תכונות

בהינתן זוג מרחבים אפינים ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ ו-${\displaystyle (B,{\vec {B}})}$ והעתקה אפינית ${\displaystyle f\colon A\to B}$, מתקיימות התכונות הבאות:

• לכל ${\displaystyle a,b,c,d\in A}$ המקיימים ${\displaystyle a-b=c-d}$ מתקיים גם ש-${\displaystyle f(a)-f(b)=f(c)-f(d)}$
• שימור קו-ליניאריות: לכל ${\displaystyle a,b,c\in A}$ קו-ליניאריים ב-${\displaystyle A}$ (קריא, הווקטורים ${\displaystyle b-a}$ ו-${\displaystyle c-a}$ תלויים זה בזה), גם הנקודות ${\displaystyle f(a),f(b),f(c)}$ קוליניאריות ב-${\displaystyle B}$.
• שימור מרחבים נפרסים: בהינתן קבוצה כלשהי ${\displaystyle S\subseteq A}$, המרחב הנפרס על-ידי ${\displaystyle S}$ נשמר על-ידי ${\displaystyle f}$. כלומר: ${\displaystyle {\text{Span}}(f(S))=f({\text{Span}}(S))}$.
• שימור תתי-מרחבים: בהינתן ${\displaystyle A'\subseteq A}$ תת-מרחב אפיני של ${\displaystyle A}$, אזי ${\displaystyle f(A')}$ תת-מרחב אפיני של ${\displaystyle B}$.
• שימור ישרים מקבילים: בהינתן ${\displaystyle l_{1},l_{2}\subseteq A}$ זוג ישרים מקבילים ב-${\displaystyle A}$, אזי גם ${\displaystyle f(l_{1})}$ ו-${\displaystyle f(l_{2})}$ הם ישרים מקבילים ב-${\displaystyle B}$.

בנוסף, ניתן להוכיח כי הרכבה של העתקות אפיניות היא בהכרח העתקה אפינית. כלומר, בהינתן המרחבים האפינים ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$, ${\displaystyle (B,{\vec {B}})}$ ו-${\displaystyle (C,{\vec {C}})}$ וההעתקות האפיניות ${\displaystyle f_{1}\colon A\to B}$ ו-${\displaystyle f_{2}\colon B\to C}$, אזי בהכרח גם ${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}\colon A\to C}$ היא העתקה אפינית.

הזזות

ערך מורחב – הזזה (גאומטריה)

בהינתן מרחב אפיני ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ ופונקציה כלשהי ${\displaystyle f\colon A\to A}$, ${\displaystyle f}$ תקרא פונקציית הזזה או העתקת הזזה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים השקולים הבאים:

1. לכל ${\displaystyle a,b\in A}$ מתקיים ש-${\displaystyle f(a)-f(b)=a-b}$
2. קיים ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}\in {\vec {A}}}$ כך שלכל ${\displaystyle x\in A}$ מתקיים ש-${\displaystyle f(x)=x+{\vec {v}}_{0}}$.

ניתן להוכיח כי לכל העתקת הזזה, ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ כפי שהוגדר לעיל מוגדר היטב ויחיד. יתרה מכך, ניתן להוכיח כי קיים יחס חד-חד ערכי ועל בין מרחב העתקות ההזזה לבין המרחב הווקטורי ${\displaystyle {\vec {A}}}$. על כן, לכל וקטור ${\displaystyle {\vec {v}}\in {\vec {A}}}$ מסמנים ב-${\displaystyle T_{\vec {v}}:A\to A}$ את העתקה ההזזה ב-${\displaystyle v}$.

להעתקת הזזה ${\displaystyle T_{\vec {v}}}$ יש נקודת שבת אם ורק אם ${\displaystyle {\vec {v}}=0}$, ואז כל הנקודות בה הן נקודות שבת.

ניתן להוכיח כי כל העתקת הזזה היא בהכרח אוטומורפיזם (העתקה אפינית הפיכה ממרחב אפיני לעצמו). מנגד, כל אוטומורפיזם שאין לו נקודת שבת הוא בהכרח העתקת הזזה.

ייצוג באמצעות העתקה ליניארית

העתקה אפינית כללית

בהינתן העתקה אפינית ${\displaystyle f}$ מ-${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ ל-${\displaystyle (B,{\vec {B}})}$ ניתן לייצג את ההעתקה ${\displaystyle f}$ באמצעות ההעתקה הליניארית התואמת שלה ${\displaystyle {\vec {f}}}$, ושתי נקודות ייחוס.

ניתן לעשות זאת על-ידי בחירת ${\displaystyle a\in A}$ כלשהי והגדרת ${\displaystyle b:=f(a)\in B}$, אזי מתקבל שלכל ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle f(x)=f(a+(x-a))=f(a)+{\vec {f}}(x-a)=b+{\vec {f}}(x-a)}$

משמעות הדבר היא כי כל העתקה אפינית ניתנת לייצוג באמצעות העתקה ליניארית ושתי נקודות ייחוס ${\displaystyle a}$ ו-${\displaystyle b}$. עובדה זו מצביעה על הקשר ההדוק שבין העתקות אפיניות להעתקות ליניאריות.

אנדומורפיזם

במקרה שבו ${\displaystyle f}$ היא אנדומורפיזם על ${\displaystyle A}$ (כלומר, העתקה אפינית מהמרחב אפיני ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ לעצמו), לכל ${\displaystyle a\in A}$ מגדירים פונקציה ${\displaystyle {\vec {f}}_{a}\colon A\to A}$ כך שלכל ${\displaystyle x\in A}$ מוגדר ש-${\displaystyle {\vec {f}}_{a}(x):=a+{\vec {f}}(x-a)}$. ניתן להוכיח כי ${\displaystyle {\vec {f}}_{a}}$ היא אנדומורפיזם על ${\displaystyle A}$ שיש לו נקודת שבת ב-${\displaystyle a}$.

כעת, מגדירים ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}:=f(a)-a\in {\vec {A}}}$ בתור וקטור ההסטה של ${\displaystyle f}$ על ${\displaystyle a}$. על כן, מתקבל כי לכל ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a+(x-a))\\=f(a)+{\vec {f}}(x-a)\\=\underbrace {a+{\vec {f}}(x-a)} _{={\vec {f}}_{a}(x)}+\underbrace {(f(a)-a)} _{={\vec {v}}_{0}}\\={\vec {f}}_{a}(x)+{\vec {v}}_{0}\\=T_{{\vec {v}}_{0}}\circ {\vec {f}}_{a}(x)\end{aligned}}}$

כלומר, כל אנדומורפיזם ניתן לייצוג על-ידי העתקה ליניארית ${\displaystyle {\vec {f}}}$, נקודת ייחוס ${\displaystyle a}$ ווקטור הסטה ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$.

משמעות הדבר היא כי כל אנדומורפיזם הוא הלכה למעשה העתקה ליניארית מורכבת עם פעולת הזזה. מאחר שנקודת הייחוס ${\displaystyle a}$ נבחרה שרירותית, מובן כי הדבר הנכון לכל נקודת ייחוס באשר היא ומייצג תכונה אינהרנטית של אנדומופריזמים בפרט והעתקות אפיניות בכלל.

יש להבחין כי בעוד ההעתקה הליניארית ${\displaystyle {\vec {f}}}$ אינה תלויה בבחירת נקודת הייחוס, וקטור ההסטה ${\displaystyle v_{0}}$ כן תלוי בה. זאת אומרת שההעתקה הליניארית ${\displaystyle {\vec {f}}}$ "נראית אותו הדבר" לא משנה ביחס לאיזה נקודת ייחוס היא נלקחת וכי האלמנט היחיד שמשתנה עם שינוי נקודת ייחוס הוא אך ורק וקטור ההסטה.

ייצוג העתקות אפיניות בין מרחבים מממד סופי

בהינתן מרחב אפיני ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ מממד סופי ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ניתן להוכיח כי הוא איזומורפי למרחב האפיני ${\displaystyle (\mathbb {A} ^{n},F^{n})}$ כאשר:

• ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ הוא מרחב הנקודות ה-${\displaystyle n}$ ממדיות. מרחב זה מיוצג על-ידי ${\displaystyle n}$-יות סדורות של איברי ${\displaystyle F}$ שלא מקיימות מבנה של מרחב וקטורי.
• ${\displaystyle F^{n}}$ מרחב וקטורי ${\displaystyle n}$ ממדי מעל ${\displaystyle F}$. מרחב זה גם הוא מיוצג על-ידי ${\displaystyle n}$-יות סדורות של איברי ${\displaystyle F}$ שביניהן ישנה פעולת חיבור איבר-איבר וכפל בקלר.

מסיבה זו כל העתקה אפינית ${\displaystyle f}$ בין מרחבים מממדים סופיים ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ו-${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ שקולה להעתקה ${\displaystyle f\colon \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$ כאשר ההעתקה היא למעשה בין קואורדינטות אפיניות.

ניתן לייצג העתקה זו בשני אופנים:

הצגה באמצעות מטריצה ווקטור

מאחר שכל העתקה אפינית ניתנת לייצוג באמצעות העתקה ליניארית ושתי נקודות ייחוס, וכל העתקה ליניארית בין מרחבים סופיים ניתנת לייצוג כמטריצה, ניתן למצוא מטריצה ${\displaystyle M\in F^{m\times n}}$ ווקטור ${\displaystyle b\in F^{m}}$ כך שלכל ${\displaystyle x\in \mathbb {A} ^{n}}$:

${\displaystyle f(x)=Mx+b}$

כלומר, במקרה של העתקה אפינית בין מרחבים סופיים, כל העתקה ניתנת לייצוג כהרכבה בין העתקה ליניארית ${\displaystyle M}$ והזזה בווקטור ${\displaystyle b}$. תכונה זו ממחישה את היותן של העתקות אפיניות "העתקות ליניאריות בתוספת הזזה", גם להעתקות שאינן אנדומורפיזמים כפי שהוצג קודם.

ניתן להוכיח כי ${\displaystyle f}$ העתקה הפיכה אם ורק אם ${\displaystyle M}$ מטריצה הפיכה.

הצגה באמצעות מטריצה מורחבת

ניתן לבצע העתקה אפינית על מישור (דו-ממדי) כהעתקה ליניארית בשלושה ממדים. ההזזה מתבצעת על ידי הפעלת מאמץ גזירה בניצב לציר Z, והסיבוב מתבצע סביב ציר Z.

ניתן לייצג גם את ההזזה ואת המיפוי הליניארי באמצעות כפל מטריצות בודד, אם מרחיבים הן את הווקטורים והן את המטריצות: לווקטורים מוסיפים קואורדינטה נוספת והיא הסקלר 1, ולכל המטריצות מוסיפים שורה של אפסים בתחתית, ועמודה נוספת (וקטור ההזזה) מימין, שבתחתיתה המספר 1.

כך למשל, עבור ההעתקה ${\displaystyle f}$, ניתנת להשתמש במטריצה ${\displaystyle M}$ ובווקטור העמודה ${\displaystyle b}$ כדי להגדיר את הפונקציה המורחבת:

${\displaystyle {\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}M&b\\0&1\end{pmatrix}}\in F^{(n+1)\times (m+1)}}$

אם ${\displaystyle x\in \mathbb {A} ^{n}}$ ו-${\displaystyle y:=f(x)\in \mathbb {A} ^{m}}$, ניתן להגדיר:

${\displaystyle {\tilde {x}}:={\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}\in F^{n+1},{\tilde {y}}:={\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}\in F^{m+1}}$

ואז יתקבל כי ${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {M}}{\tilde {x}}}$. כלומר, ניתן לייצג כל העתקה אפינית ממרחב מממד ${\displaystyle n}$ למרחב מממד ${\displaystyle m}$ על ידי מטריצה יחידה מממד ${\displaystyle (n+1)\times (m+1)}$. מטריצה זו תקרא מטריצת העתקה אפינית. הווקטורים ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ו-${\displaystyle {\tilde {y}}}$ ייקראו קואורדינטות הומוגניות.

היתרון בשימוש בקואורדינטות הומוגניות הוא שניתן להרכיב כל שילוב של העתקות אפיניות להעתקה אחת, על ידי הכפלה של המטריצות המתאימות. מאפיין זה משמש בהרחבה בגרפיקה ממוחשבת, בראייה ממוחשבת וברובוטיקה.

החבורה האפינית

המקרה הכללי

בהינתן מרחב אפיני ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$, החבורה האפינית מוגדרת להיות קבוצת כל האוטומורפיזמים מעל ${\displaystyle A}$ (קריא, כל האיזומופיזמים מ-${\displaystyle A}$ לעצמו), ומסומנת ב-${\displaystyle {\text{Aff}}({\vec {A}})}$. קבוצה זו היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה. ניתן להוכיח כי החבורה האפינית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של החבורה הליניארית הכללית ${\displaystyle {\text{GL}}({\vec {A}})}$ עם המרחב הווקטורי ${\displaystyle {\vec {A}}}$. כלומר:

${\displaystyle {\text{Aff}}({\vec {A}})\cong {\vec {A}}\rtimes {\text{GL}}({\vec {A}})}$

תכונה מצביעה שוב על התכונה שכל אנדומורפיזם, ובתוך זה כל אוטומורפיזם, הוא למעשה העתקה ליניארית מורכבת עם הזזה.

החבורה האפינית פועלת כפעולת חבורה על קבוצת הנקודות ${\displaystyle A}$. למעשה, ניתן להוכיח כי זוג מרחבים אפינים ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ ו-${\displaystyle (B,{\vec {B}})}$ איזומורפיים זה לזה אם ורק אם החבורות האפיניות שלהם ${\displaystyle {\text{Aff}}({\vec {A}})}$ ו-${\displaystyle {\text{Aff}}({\vec {B}})}$ איזומורפיות.

עבור מרחבים מממד סופי

עבור המרחב האפיני ${\displaystyle (\mathbb {A} ^{n},F^{n})}$, נהוג לסמן את החבורה האפינית ב-${\displaystyle {\text{Aff}}(n,F)}$ (באופן דומה לכך שהחבורה הליניארית הכללית מסומנת ב-${\displaystyle {\text{GL}}(n,F)}$). ניתן להראות שבאופן דומה למקרה הכללי:

${\displaystyle {\text{Aff}}(n,F)\cong F^{n}\rtimes {\text{GL}}(n,F)}$

החבורה האפינית ${\displaystyle {\text{Aff}}(n,F)}$ משוכנת באופן טבעי בחבורה הליניארית הכללית ${\displaystyle {\text{GL}}(n+1,F)}$, ומכילה את כל המטריצות ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$ מהצורה ${\displaystyle {\begin{pmatrix}M&b\\0&1\end{pmatrix}}}$ כך ש-${\displaystyle M\in {\text{GL}}(n,F)}$ ו-${\displaystyle b\in F^{n}}$.

דוגמאות

העתקות אפיניות על הישר הממשי

עבור הישר הממשי ${\displaystyle \mathbb {R} }$, כל העתקה אפינית ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ היא פונקציה מהצורה ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ עבור ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

דוגמה במישור התלת־ממדי

נרצה לייצג העתקה אפינית ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ אשר מסובבת את המרחב ב-45 מעלות סביב ציר ${\displaystyle z}$ ומסיתה את המרחב יחידה אחת בכיוון ציר ${\displaystyle z}$.

מטריצת הסיבוב ב-45 מעלות היא:

${\displaystyle M:={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

וקטור ההזזה הוא:

${\displaystyle b:={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

ועל כן מטריצת ההעתקה האפינית היא:

${\displaystyle {\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0&0\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

ראו גם

• מרחב אפיני
• חבורה אפינית
• גאומטריה אפינית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא העתקה אפינית בוויקישיתוף

• העתקה אפינית, באתר MathWorld (באנגלית)