סדר מלא

בתורת הקבוצות, סדר מלא (או סדר ליניארי) הוא יחס סדר המאפשר להשוות כל שני איברים שונים בקבוצה עליה הוא מוגדר.

למשל ליחס ${\displaystyle \leq }$ (קטן או שווה) מעל הטבעיים, לכל ${\displaystyle a\neq b}$ מתקיים ${\displaystyle a\leq b}$ או ${\displaystyle b\leq a}$. קבוצה הסדורה בסדר מלא נקראת קבוצה סדורה (או קבוצה סדורה ליניארית או שרשרת).

דוגמאות:

• היחס "קטן או שווה" על קבוצת המספרים הטבעיים, המסומן ב-${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$, הוא סדר מלא.
• היחס "קטן" על קבוצת המספרים הטבעיים הוא סדר חלקי חזק מלא.
• על צבעי האור בקשת הצבעים ניתן להגדיר סדר מלא, לפי אורך הגל של כל צבע. לפי יחס סדר זה, סגול קטן מכחול שקטן מאדום וכו'.

המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים הם קבוצות סדורות ליניארית צפופות.

הגדרה

יחס סדר חלקי (חלש או חזק) ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ נקרא יחס סדר מלא (או "יחס סדר שלם", או "יחס סדר ליניארי") אם לכל ${\displaystyle a\neq b}$ מתקיים ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$ או ${\displaystyle b{\mathcal {R}}a}$. קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר מלא נקראת סדורה ליניארית (או "סדורה בשלמות").

פעולות בין סדרים

חיבור סדרים: החיבור של סדרים ${\displaystyle (P,\leq ),(Q,\leq )}$ מוגדר לפי "${\displaystyle P}$ ואז ${\displaystyle Q}$", כלומר הקבוצה ${\displaystyle P+Q=P\times \{0\}\cup Q\times \{1\}}$ עם הסדר

${\displaystyle {\begin{aligned}x,y\in P,(x,0)\leq (y,0)\iff x\leq y\\a,b\in Q,(a,1)\leq (b,1)\iff a\leq b\end{aligned}}}$

ולכל ${\displaystyle x\in P,a\in Q}$ מתקיים ${\displaystyle x\leq a}$.

כפל סדרים: יהיו ${\displaystyle (P,\leq ),(Q,\leq )}$ סדרים אז נגדיר ${\displaystyle Q\times P}$ עם הסדר המילוני הימני (העברי) כלומר:

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\leq (y_{1},y_{2})}$ אם מתקיים:

${\displaystyle x_{2}\leq y_{2}}$ או ${\displaystyle y_{2}=x_{2}}$ וגם ${\displaystyle x_{1}\leq y_{1}}$

הערות:

• אם ${\displaystyle (P,\leq ),(Q,\leq )}$ סדרים טובים אז ${\displaystyle P+Q,P\times Q}$ הם סדרים טובים.
• מכיוון שפעולת החיבור ופעולת הכפל מוגדרות היטב ניתן גם לדבר על פילוג מימין: יהיו ${\displaystyle (M,\leq ),(P,\leq ),(Q,\leq )}$ סדרים מלאים, אז מתקיים:

${\displaystyle P\times (Q+M)=P\times Q+P\times M}$

• עבור סדרים סופיים פילוג משמאל מתקיים. אך עבור סדרים אינסופיים זה לא נכון.

ראו גם

• סדר טוב
• פונקציה שומרת סדר
• טיפוס סדר

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - יחסי סדר, באתר "לא מדויק", 10 בינואר 2020
• סדר מלא, באתר MathWorld (באנגלית)