מטריצה נילפוטנטית

במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית ${\displaystyle M}$ כך ש- ${\displaystyle M^{q}=0\,}$ עבור ${\displaystyle q}$ שלם חיובי כלשהו. באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה ליניארית ${\displaystyle L}$ כך ש- ${\displaystyle L^{q}=0\,}$ עבור ${\displaystyle q}$ שלם חיובי כלשהו.

אלו מקרים פרטיים של מושג הנילפוטנטיות, המוגדר בכל חוג: מטריצה נילפוטנטית אינה אלא איבר נילפוטנטי באלגברת המטריצות.

דוגמאות

המטריצה מהצורה הבאה:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4×4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה:

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים.

ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל, ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}}$ מוגדרת על ידי:

${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0).}$

תכונות

מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה הוא ${\displaystyle \lambda ^{n}}$. משום כך, מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים (תכונה המתקיימת ממילא מעל שדה סגור אלגברית), וכל הערכים העצמיים הם אפס.

תהי ${\displaystyle M}$ מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר ${\displaystyle n}$, אזי מתקיימות התכונות הבאות:

• השלם הקטן ביותר ${\displaystyle q}$ המקיים ${\displaystyle M^{q}=0\,}$ (אינדקס הנילפוטנטיות) קטן או שווה ל-${\displaystyle n}$.
• הדטרמיננטה והעקבה של ${\displaystyle M}$ הן אפס.
• מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.
• המטריצה ${\displaystyle I-M}$היא הפיכה, שכן ${\displaystyle (I-M)(I+M+M^{2}+\ldots +M^{q-1})=I-M^{q}=I}$.

צורת ז'ורדן

משפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}}$

כך שכל בלוק ${\displaystyle N_{i}}$ הוא מהצורה הבאה:

${\displaystyle N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}.}$

כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות. משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.

תתי מרחבים

העתקה נילפוטנטית ${\displaystyle L}$ על המרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ מגדירה את תתי המרחבים הבאים:

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=U}$

ואת הסיגנטורות הבאות:

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker N^{i}.}$

הסיגנטורה מאפיינת את ${\displaystyle L}$ לכדי העתקה ליניארית, וכן מקיימת את האי-שוויונות הבאים:

${\displaystyle \forall j=1,\ldots ,q-1:n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1}}$.