שדה סגור אלגברית

במתמטיקה, שדה ${\displaystyle F}$ הוא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מ-${\displaystyle F}$ קיים שורש ב-${\displaystyle F}$.

דוגמאות

• שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ הוא לא סגור אלגברית. הפולינום ${\displaystyle x^{2}+1}$, למשל, הוא פולינום עם מקדמים ממשיים (0 ו-1) שלא קיים לו שום שורש ממשי - לא קיים מספר ממשי ${\displaystyle x}$ כך ש-${\displaystyle x^{2}+1=0}$. בצורה דומה ניתן לראות שכל תת-שדה של שדה המספרים הממשיים (ובפרט, למשל, שדה המספרים הרציונליים) הוא אינו סגור אלגברית.
• כל שדה סופי ${\displaystyle F}$ הוא לא סגור אלגברית. אם ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{q}}$ הם איברי השדה ${\displaystyle F}$, אז הפולינום ${\displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{q})+1=x^{q}-x+1\in F[x]}$ הוא פולינום שמקדמיו מ-${\displaystyle F}$ אבל לא קיים לו שורש ב-${\displaystyle F}$.
• בניגוד לדוגמאות הקודמות, לפי המשפט היסודי של האלגברה, שדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית (למשל, לפולינום ${\displaystyle x^{2}+1}$ קיים שורש מרוכב).
• דוגמה נוספת לשדה סגור אלגברית הוא שדה המספרים האלגבריים, שהוא הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים.
• הסגור האלגברי של שדה סופי ממאפיין ${\displaystyle p}$ הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים ${\displaystyle GF(p^{\infty })}$.

הגדרות שקולות

שדה ${\displaystyle F}$ הוא סגור אלגברית אם ורק אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:

• אין לשדה הרחבה מממד סופי.
• אין לשדה הרחבה אלגברית לא טריוויאליות
• לכל פולינום מעל השדה (שאינו קבוע), יש שורשים בשדה.
• כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 מעל השדה הוא פריק.
• כל פולינום שמקדמיו בשדה ${\displaystyle F}$ מתפצל שם לגורמים ליניאריים.
• לכל מטריצה ריבועית ישנו ערך עצמי.

חשיבות גאומטרית

בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר ${\displaystyle y=x}$ אינו נחתך עם המעגל ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ (משום שנקודות החיתוך ${\displaystyle x=y=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.

סגור אלגברי

לכל שדה ${\displaystyle F}$ ישנו שדה הרחבה סגור אלגברית. מבין כל שדות ההרחבה הסגורים אלגברית, קיים ויחיד (עד כדי איזומורפיזם, שאיננו יחיד), שהוא הרחבה אלגברית של ${\displaystyle F}$, והוא נקרא הסגור האלגברי של ${\displaystyle F}$.

הכללות

סגירות אלגברית נחקרה גם בהקשר של חוגים עם חילוק שאינם שדות, אבל הדוגמאות ספורדיות ואינן עולות לכדי תאוריה אחידה ().