מקדם פואסון

מקדם פואסון או יחס פואסון של חומר הוא גודל פיזיקלי חסר ממד המודד את עמידות החומר לעיוות, שערכו נע בדרך כלל בין 0.25 לבין 0.5. מסומן באות היוונית נוּ.

מוט נלחץ מתקצר אבל הרוחב שלו גדל

לפלדות הערך של מקדם פואסון הוא בסביבות 0.3. מקדם פואסון כמו גם מודול האלסטיות של החומר משתנים עם שינוי הטמפרטורה של החומר.

מקדם פואסון מציג את המעוות הרוחבי כתוצאה מהמעוות האורכי. זאת לעומת מודול האלסטיות שהוא ביטוי לקפיציות של החומר. כאשר מבצעים מבחן מתיחה או מבחן לחיצה של דגם החומר, הדגם מתארך או מתקצר בהתאם למתיחה או הלחיצה. בחתך הרוחב של הדגם מתרחש מעוות בכיוון הפוך ובשיעור שבין 25% עד 50% מהמעוות האורכי. היחס בין המעוות האורכי לבין המעוות הרוחבי הוא יחס פואסון או מקדם פואסון.

מקדם פואסון

${\displaystyle \ \nu =-{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{x}}}}$

כאשר:

• ${\displaystyle \ \nu }$ - הוא יחס פואסון או מקדם פואסון
• ${\displaystyle \varepsilon _{x}}$ - הוא העיבור הצירי
• ${\displaystyle \varepsilon _{y}}$ - הוא העיבור הרוחבי

במוט המועמס למתיחה או ללחיצה, המעוות הוא ההתארכות היחסית:

${\displaystyle {\varepsilon }={\frac {\Delta L}{L}}}$

• L - אורך המוט
• ${\displaystyle {\Delta L}}$ - השינוי באורך

מצב מאמצים מרחבי ומצב מעוותים מרחבי

מאמץ מתיחה בכיוון x גורם למתיחת המוט בכיוון x, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים y,z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכיוון x במקדם פואסון. כך גם בכוונים y,z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה:

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]}$

${\displaystyle \epsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]}$

כאשר:

• ${\displaystyle \varepsilon \ _{x},\varepsilon \ _{y},\varepsilon \ _{z}}$ הם מעוותים בכוונים המסומנים x,y,z
• ${\displaystyle \ E}$ הוא מודול האלסטיות של החומר
• ${\displaystyle \sigma \ _{x},\sigma \ _{y},\sigma \ _{z}}$ הם מאמצים בכוונים המסומנים x,y,z
• ${\displaystyle \ \nu }$ הוא מקדם פואסון או יחס פואסון של החומר

מודול הגזירה

הקשר בין מודול האלסטיות לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי הכולל בתוכו את מקדם פואסון

${\displaystyle \ G={\frac {E}{2(1+\nu )}}}$

• ${\displaystyle \ E}$ - מודול האלסטיות
• ${\displaystyle \ G}$ - מודול הגזירה
• ${\displaystyle \ \nu }$ - מקדם פואסון

שינוי נפח

שינוי הנפח היחסי כתוצאה ממתיחת החלק הוא ביטוי התלוי בשינוי האורך היחסי ובמקדם פואסון. כאשר המעוותים קטנים, מתקיים:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=(1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

כאשר:

• ${\displaystyle \ V}$ - הוא נפח החומר
• ${\displaystyle \ \Delta V}$ - הוא השינוי בנפח החלק
• ${\displaystyle \ L}$ - הוא האורך הראשוני של החלק לפני המעוות
• ${\displaystyle \ \Delta L}$ - הוא השינוי באורך החלק כתוצאה מהמעוות
• ${\displaystyle \ \Delta L=L_{old}-L_{new}}$

שינוי רוחב

שינוי רוחב או קוטר המוט במתיחה

כאשר מוט בעובי או בקוטר d ובאורך L נתון למתיחה כך שהאורך שלו משתנה בשעור ΔL אזי הרוחב או הקוטר של המוט ישתנה בערך השלילי הנתון על ידי הביטוי המקורב להלן, ביטוי הנותן תוצאות טובות כאשר המעוותים ושינויי האורך והרוחב קטנים. המשמעות של הסימן השלילי היא שכאשר המוט מתארך, הרוחב או הקוטר שלו קטנים.

${\displaystyle \Delta d=-d\cdot \nu {{\Delta L} \over L}}$

הביטוי המדויק המתאים למעוותים גדולים הוא:

${\displaystyle \Delta d=-d\cdot \left(1-{\left(1+{{\Delta L} \over L}\right)}^{-\nu }\right)}$

כאשר:

• ${\displaystyle \ d}$ - הוא הקוטר או העובי הראשוני של החומר
• ${\displaystyle \ \Delta d}$ - הוא השינוי בקוטר החומר או השינוי בעובי
• ${\displaystyle \ \nu }$ - הוא יחס פואסון או מקדם פואסון
• ${\displaystyle \ L}$ - הוא האורך הראשוני של החלק לפני המתיחה או הלחיצה
• ${\displaystyle \ \Delta L}$ - הוא השינוי באורך

חומרים אורטוטרופים

בחומרים שאינם אחידים בכל הכוונים כמו למשל קורת עץ, לה תכונות שונות לאורך הסיבים ובניצב לסיבים, למקדם פואסון יהיה ערך מספרי שונה בכל כוון. נשמר היחס בין מקדם פואסון לבין מודול האלסטיות:

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}\qquad }$

כאשר:

• ${\displaystyle \ E_{i}}$ - הוא מודול האלסטיות בכיוון i
• ${\displaystyle \ \nu _{jk}}$ - הוא מקדם פואסון במישור jk

ערכים אפשריים למקדם פואסון

נתבונן בקבוע הראשון של לאמה. עבור הערכים ${\displaystyle \ \nu =-1,\nu =0.5}$ נקבל:

${\displaystyle \lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}\longrightarrow \infty }$

• הערכים שמקדם פואסון ${\displaystyle \ \nu }$ יכול לקבל הם ${\displaystyle \ -1<\nu <0.5}$.

באופן מעשי ${\displaystyle \ 0<\nu <0.5}$. אבל ישנם פולימרים בעלי מקדם פואסון שלילי (מצב בו החומר מתרחב במתיחה). חומרים כאלו נקראים Auxetic materials, ומבנים בעלי התכונה הזאת נקראים Chiral Structures. מקדם פואסון גדול מ-0.5 אינו אפשרי עבור חומרים איזוטרופים.

ערכים של מקדם פואסון לחומרים שונים

חומר	מקדם פואסון
אלומיניום	0,33
בטון	0,20
יצקת ברזל	0,21-0,26
זכוכית	0,24
חרסית	0,30-0,45
נחושת	0,33
שעם	0,00
מגנזיום	0,35
פלב"ם	0,30-0,31
גומי	0,50
פלדה	0,27-0,30
טיטניום	0,34
חול	0,20-0,45

הקשר בין מודולי האלסטיות בחומרים אחידים בעלי תכונות זהות בכל הכוונים
מודול יאנג (${\displaystyle \ E}$) | מודול הגזירה (${\displaystyle \ \mu }$) | מקדם פואסון (${\displaystyle \ \nu }$) | הקבוע הראשון של לאמה (${\displaystyle \ \lambda }$) | מודול הנפח (${\displaystyle \ K}$) כל אחד מקבועי האלסטיות יכול להיות מוגדר באמצעות אחד מזוגות הקבועים האחרים.
${\displaystyle (\lambda ,\,\mu )}$ ${\displaystyle (E,\,\mu )}$ ${\displaystyle (K,\,\lambda )}$ ${\displaystyle (K,\,\mu )}$ ${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$ ${\displaystyle (\mu ,\,\nu )}$ ${\displaystyle (E,\,\nu )}$ ${\displaystyle (K,\,\nu )}$ ${\displaystyle (K,\,E)}$ ${\displaystyle =K\,}$ מודול הנפח ${\displaystyle \lambda +{\frac {2\mu }{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {E\mu }{3(3\mu -E)}}}$ / / ${\displaystyle \lambda {\frac {1+\nu }{3\nu }}}$ ${\displaystyle {\frac {2\mu (1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$ ${\displaystyle {\frac {E}{3(1-2\nu )}}}$ / / ${\displaystyle =E\,}$ מודול יאנג ${\displaystyle \mu {\frac {3\lambda +2\mu }{\lambda +\mu }}}$ / ${\displaystyle 9K{\frac {K-\lambda }{3K-\lambda }}}$ ${\displaystyle {\frac {9K\mu }{3K+\mu }}}$ ${\displaystyle {\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$ ${\displaystyle 2\mu (1+\nu )\,}$ / ${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$ / ${\displaystyle =\lambda \,}$ הקבוע של לאמה / ${\displaystyle \mu {\frac {E-2\mu }{3\mu -E}}}$ / ${\displaystyle K-{\frac {2\mu }{3}}}$ / ${\displaystyle {\frac {2\mu \nu }{1-2\nu }}}$ ${\displaystyle {\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$ ${\displaystyle {\frac {3K\nu }{1+\nu }}}$ ${\displaystyle {\frac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$ ${\displaystyle =\mu \,}$ מודול הגזירה / / ${\displaystyle 3{\frac {K-\lambda }{2}}}$ / ${\displaystyle \lambda {\frac {1-2\nu }{2\nu }}}$ / ${\displaystyle {\frac {E}{2+2\nu }}}$ ${\displaystyle 3K{\frac {1-2\nu }{2+2\nu }}}$ ${\displaystyle {\frac {3KE}{9K-E}}}$ ${\displaystyle =\nu \,}$ מקדם פואסון ${\displaystyle {\frac {\lambda }{2(\lambda +\mu )}}}$ ${\displaystyle {\frac {E}{2\mu }}-1}$ ${\displaystyle {\frac {\lambda }{3K-\lambda }}}$ ${\displaystyle {\frac {3K-2\mu }{2(3K+\mu )}}}$ / / / / ${\displaystyle {\frac {3K-E}{6K}}}$

לקריאה נוספת

• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0882754203
• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970. 1991.

• Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983, ISBN 0-0704-5486-8
• Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מקדם פואסון בוויקישיתוף

• המשמעות של יחס פואסון (באנגלית)
• חומרים בעלי מקדם פואסון שלילי