משוואה ממעלה שנייה

משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה ${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}$ כאשר ${\displaystyle \ a,b,c}$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי הפרבולה ${\displaystyle \ y=ax^{2}+bx+c}$ עם הישר ${\displaystyle \ y=0}$.

לרקע היסטורי ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות.

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

גרף הפונקציה ${\displaystyle y=x^{2}-x-2}$ חוצה את ציר ה-x בנקודות ${\displaystyle x=-1}$ ו- ${\displaystyle x=2}$, שהן הפתרונות של המשוואה הריבועית ${\displaystyle x^{2}-x-2=0}$

הפתרונות למשוואה הריבועית ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ הם ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.

את הפתרון מקבלים על ידי השלמה לריבוע: כפל ב-${\displaystyle \ 4a}$ והוספת הדיסקרימיננט ${\displaystyle \!\,\Delta =b^{2}-4ac}$ לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה ${\displaystyle \!\,(2ax+b)^{2}=\Delta }$. לאחר הוצאת שורש ריבועי מתקבלים הפתרונות ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$. אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {\Delta }}}}}$, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. בחישוב נומרי אפשר לפתור את המשוואה באמצעות שיטת מולר.

כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות מרוכבים.

משפט ויאטה

מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית ${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}$

ושורשיה הם ${\displaystyle \ x_{1},x_{2}}$, הרי מתקיים הקשר הבא:

${\displaystyle \ x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle \ x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$

קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.

משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.

בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.

התנאים	שוני סימן	שווי סימן	שניהם חיוביים	שניהם שליליים
	${\displaystyle \ {\frac {c}{a}}<0}$[1]	${\displaystyle \ \Delta >0}$ ${\displaystyle \ c/a>0}$	${\displaystyle \ \Delta >0}$ ${\displaystyle \ c/a>0}$ ${\displaystyle \ -b/a>0}$	${\displaystyle \ \Delta >0}$ ${\displaystyle \ c/a>0}$ ${\displaystyle \ -b/a<0}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משוואה ממעלה שנייה בוויקישיתוף

• גדי אלכסנדרוביץ', אז איך פותרים משוואה ריבועית?, באתר "לא מדויק", 26 בינואר 2008
• גדי אלכסנדרוביץ', אז איך באמת פותרים משוואה ריבועית?, באתר "לא מדויק", 16 בדצמבר 2023
• משוואה ריבועית(הקישור אינו פעיל), באתר "g-math"
• סרטון המדגים כיצד להגיע לנוסחת השורשים
• מחשבון לפתרון משוואה ריבועית
• משוואה ממעלה שנייה, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואה ממעלה שנייה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• למה משוואה ריבועית?, סרטון באתר יוטיוב
• שיר הפרבולה, בביצוע דביר רוס, וידאו קליפ של השיר באתר יוטיוב, כולל הדרכה איך לפתור משוואה ריבועית במחשבון.