משפט חוצה הזווית

בגאומטריה, משפט חוצה הזווית קובע שחוצה זווית במשולש (זווית פנימית או זווית חיצונית), מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית.

למשל, בתמונה שבצד, AD חוצה את זווית ${\displaystyle \angle A}$ וחותך את BC ב-D, ולכן, ${\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {BD}{CD}}}$

המשפט מכליל את הטענה שחוצה זווית במשולש שווה-שוקיים הוא תיכון.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.

הוכחות למשפט

באמצעות משפט תאלס

הוכחת המשפט

נסמן באותיות יווניות את שני חלקי הזווית החצויה: ב-${\displaystyle \ \alpha }$ את החלק הקרוב לישר AB וב-${\displaystyle \ \beta }$ את החלק הקרוב לישר AC.

נסמן נקודה K על AB (או על המשכה), כך ש-${\displaystyle CK\|AD}$

נקבל, על פי משפט תאלס, ${\displaystyle {\frac {BA}{AK}}={\frac {BD}{DC}}}$

מכיוון ש-${\displaystyle CK\|AD}$, נקבל ${\displaystyle \angle AKC=\alpha }$ (כי זוויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו) וגם ${\displaystyle \angle ACK=\beta }$ (כי זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)

מכיוון ש-${\displaystyle \ \alpha =\beta }$ (כי AD חוצה זווית), נקבל, על פי כלל המעבר, ${\displaystyle \angle ACK=\angle AKC}$

מכיוון שבמשולש, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות, AK=AC

נציב תוצאה זו, ונקבל ${\displaystyle {\frac {BA}{AC}}={\frac {BD}{DC}}}$

באמצעות שטחים

הוכחת המשפט

חוצה זווית הוא המקום הגיאומטר של הנקודות במרחק שווה מהצלעות לכן ${\displaystyle DE=DF}$

מכיוון של-,${\displaystyle ABD}$ ו-${\displaystyle ADC}$ יש גובה משותף מ${\displaystyle A}$ ל ${\displaystyle BC}$

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {S_{BDA}}{S_{DCA}}}={\frac {\frac {AB\cdot DE}{2}}{\frac {AC\cdot DF}{2}}}={\frac {AB}{AC}}}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט חוצה הזווית בוויקישיתוף

• משפט חוצה הזווית, באתר MathWorld (באנגלית)
• Angle Bisector Theorem, באתר CUEMATH
• Angle Bisector Theorem באתר AoPS