נוסחת סטירלינג

נוסחת סטירלינג (על שם המתמטיקאי הסקוטי ג'יימס סטירלינג) היא קירוב מתמטי לערך של ${\displaystyle n!}$ (במילים: ${\displaystyle n}$ עצרת) עבור ערכים גדולים של ${\displaystyle n}$. $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$ זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שבגבול היחס שואף ל-1:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1}$$

עבור ${\displaystyle x}$ גדול, ${\displaystyle \ln(x!)}$ מתקרב ל-${\displaystyle x\ln(x)-x}$

כתוצאה מכך (כפי שיפורט להלן) ${\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n}$.

בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$.

משפט: קיימת פונקציה ממשית ${\displaystyle \eta$ :(0,\infty )\to \mathbb {R} } המקיימת: ${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-0.5}e^{-x}e^{\eta (x)}\qquad 0<\eta (x)<{\frac {1}{12x}}}$

עבור ${\displaystyle n}$-ים גדולים ${\displaystyle e^{\eta (n)}\approx 1}$ ולכן ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\approx {\sqrt {2\pi }}n^{n-1/2}e^{-n}}$. כפל שני האגפים ב-${\displaystyle n}$ יתן את הנוסחה ל-${\displaystyle n!}$.

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.

הוכחה אסימפטוטית

הצדקה אסימפטוטית לקירוב סטירלינג עוברת דרך ההוכחה כי ${\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n}$.

נפתח את הביטוי ${\displaystyle \ln(n!)}$:

${\displaystyle \ln(n!)=\ln \left(\prod _{k\,=\,1}^{n}k\right)=\sum _{k\,=\,1}^{n}\ln(k)\approx \int \limits _{1}^{n}\ln(x)dx=n\ln(n)-n+1}$

כאשר את המעבר מצד שמאל של המשוואה עשינו בעזרת הגדרת העצרת. את השוויון השני קיבלנו בעזרת חוקי הלוגריתמים. את הקירוב קיבלנו בעזרת סכום דארבו עליון. כל המעברים האלה נכונים מבחינה מתמטית גם עבור ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln(n!)}$ ולכן ${\displaystyle \ln(n!)\in \Theta (n\ln(n))}$.

לוגריתם העצרת אינו שווה במדויק לערך האינטגרל שחושב קודם, וכדי להגיע לצורה המדויקת של נוסחת סטירלינג יש להעריך את האינטגרל בעזרת קירוב מסדר גבוה יותר. את האינטגרל ניתן לקרב בעזרת כלל הטרפז הנובע מנוסחת אוילר-מקלורן – נחלק את השטח מתחת לגרף של ${\displaystyle \ln(x)}$ בתחום ${\displaystyle [1,n]}$ ל-${\displaystyle n-1}$ טרפזים בעלי רוחב 1 וגבהים ${\displaystyle \ln(k),\ln(k+1)}$, וכך נוכל לקרב את האינטגרל על ידי הסכום:

${\displaystyle \int \limits _{1}^{n}\ln(x)dx\approx \sum _{k\,=\,1}^{n-1}{\frac {1}{2}}(\ln(k)+\ln(k+1))=\sum _{k\,=\,1}^{n-1}\ln(k)+{\frac {1}{2}}\ln(n)=\ln(n!)-{\frac {1}{2}}\ln(n)}$

שכן כל האיברים בסכום פרט לאיבר הראשון והאחרון מופיעים פעמיים (בעוד האיבר הראשון הוא ${\displaystyle \ln(1)=0}$). מכאן הדרך לקירוב סטירלינג ישירה:

${\displaystyle \ln(n!)-{\frac {1}{2}}\ln(n)\approx \int \limits _{1}^{n}\ln(x)dx=n\ln(n)-n+1\implies \ln(n!)\approx (n+0.5)\ln(n)-n=\ln(n^{n+0.5})-\ln(e^{n})=\ln {\bigl (}{\sqrt {n}}{\bigl (}{\tfrac {n}{e}}{\bigr )}^{n}{\bigr )}}$

כאשר השמטנו את הקבוע 1 שהופיע בערך המדויק של האינטגרל המסוים משום שהוא לא תורם להתנהגות האסימפטוטית של ${\displaystyle n!}$, אלא נכנס למעשה בחישוב הקבוע ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ (שאינו מובא כאן), כך שמקבלים בסופו של דבר:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

היסטוריה

הנוסחה התגלתה לראשונה על ידי אברהם דה מואבר בצורה:

$${\displaystyle n!\sim [{\text{constant}}]\cdot n^{n+0.5}e^{-n}}$$

דה מואבר נתן קירוב רציונלי לערך הלוגריתם הטבעי של הקבוע. תרומתו של סטירלינג הייתה להראות שהקבוע שווה במדויק ל-${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא נוסחת סטירלינג בוויקישיתוף

• נוסחת סטירלינג, באתר MathWorld (באנגלית)
• נוסחת סטירלינג, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.