אליפסואיד

אֶלִּיפְּסוֹאִיד הוא גוף תלת-ממדי שכל חתך שלו יוצר אליפסה. צורתו של כדור הארץ ניתנת לתיאור על ידי אליפסואיד.

חתכים מעגליים של אליפסואיד

תרשים של אליפסואיד כאשר כל אחד מהערכים ${\displaystyle a,b,c}$ שונים זה מזה

המשוואה הכללית שמתארת אליפסואיד במערכת צירים קרטזית היא: ${\displaystyle \ \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}=1}$, כאשר ${\displaystyle \ a,b,c}$ הם קבועים המכונים צירי האליפסואיד. המרחק בין מרכז האליפסואיד ${\displaystyle (0,0,0)}$ לבין הנקודות ${\displaystyle (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)}$ שנמצאות על פני האליפסואיד נקראים חצי ציר. כאשר בהתאם לגודל של ${\displaystyle a,b,c}$ מוגדר חצי ציר ראשי וחצאי ציר משניים.

קיימים מקרים פרטיים של אליפסואיד:

• ${\displaystyle a=b}$ - נקרא ספרואיד. ספרואיד אפשר לקבל כגוף סיבוב של אליפסה.
  • ${\displaystyle a=b>c}$ - נקרא ספרואיד אובלי. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ (הפחוס בקטבים בגלל השפעת הסיבוב).
  • ${\displaystyle a=b<c}$ - נקרא ספרואיד מוארך. זוהי צורתו של כדור פוטבול ורוגבי.
• ${\displaystyle a=b=c}$ - כדור.

בספרות המתמטית אליפסואיד הוא שם כללי לכל סוגי האליפסואיד, אולם בספרות מדעית אחרת (בעיקר גאודזיה), אלפסואיד מתאר ספרואיד.

נפחו של אליפסואיד הוא ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \cdot abc}$.

שטח הפנים של אליפסואיד הוא^[1]

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right)}$

כאשר

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

F(φ, k) ו-E(φ, k) הם אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון והשני בהתאמה.^[2]

מקרה כללי

במקרה הכללי ניתן להגדיר אליפסואיד n ממדי (נקרא לעיתים היפראליפסואיד) באמצעות^[3] : $${\displaystyle E\equiv \{x\mid (\mathbf {x-c} )^{\mathrm {T} }\!A\,(\mathbf {x-c} )\leq 1\}}$$ כאשר ${\displaystyle A}$ היא מטריצה חיובית, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ו-${\displaystyle \mathbf {c} }$ הם וקטורים. הווקטורים העצמיים של ${\displaystyle A}$ קובעים את צירי האליפסואיד, והערכים עצמיים שלה הם ההופכיים של ריבועי חצאי הצירים, ואילו c מגדירה את מרכז האליפסואיד.

באופטימיזציה ובלמידת מכונה נעשה שימוש באליפסואיד ממד גבוה במסגרת שיטה איטרטיבית לאופטימיזציה קמורה, המוכרת כשיטת האליפסואיד (אנ'), שבמסגרתה נוצרת סדרת אליפסואידים שלהם נפח הולך וקטן בכל שלב עד להתכנסות למציאת הפתרון.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: אליפסואיד
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: אליפסואיד

• אליפסואיד, באתר MathWorld (באנגלית)
• אליפסואיד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)