Hamiltonov operator

Hamiltonov operator ${\displaystyle \nabla }$, što se izgovara kao nabla ili del, u trodimenzionalnom je Kartezijevom koordinatnom sustavu R³ s koordinatama (x, y, z) definiran operatorima parcijalnih derivacija

${\displaystyle \nabla \equiv {\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial z}},}$

gdje su ${\displaystyle \{\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} \}}$ jedinični vektori usmjereni kao koordinatne osi sustava.^[1][2][3] Operator se često upotrebljava u fizici, u područjima od mehanike fluida do elektromagnetizma.

Kada djeluje na skalarna polja, njime se dobije gradijent. Kada se zdesna skalarno množi s vektorskim poljem dobije se divergencija tog polja. Kada se zdesna vektorski množi s vektorskim poljem, dobije se rotacija polja.^[4] Hamiltonov operator skalarno pomnožen samim sobom daje Laplaceov operator za skalarna polja ${\displaystyle \Delta {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\nabla ^{2}}$.^[1]

Definicija se može poopćiti i na n-dimenzionalni Euklidski prostor Rⁿ. U Kartezijevom koordinatnom sustavu s koordinatama (x₁, x₂, ..., x_n), operator ${\displaystyle \nabla }$ se definira kao^[4]

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}{\hat {e}}^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$

gdje su ${\displaystyle \{{\hat {e}}^{i}:1\leq i\leq n\}}$ jedinični vektori u tom prostoru.

U Einsteinovoj notaciji, gdje se po ponovljenim indeksima provodi zbrajanje, ta se definicija može kraće napisati kao

${\displaystyle \nabla ={\hat {e}}^{i}\,\partial _{i}}$ .