Kartezijev umnožak

Kartezijev umnožak (Kartezijev produkt) je umnožak iz teorije skupova koji nosi ime prema latiniziranom imenu Renéa Descartesa Cartesius.^[1]

Kartezijev umnožak ${\displaystyle \scriptstyle A\times B}$ skupova ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x,y,z\}}$ i ${\displaystyle \scriptstyle B=\{1,2,3\}}$

Kod dvaju skupova skup svih uređenih parova čiji je prvi element iz prvoga skupa, a drugi iz drugoga skupa.^[2] Ako je više tj. n skupova u umnošku, onda imamo n-struki umnožak od uređenih n-torki (a, b, ... n).

Kartezijev umnožak dvaju skupova A i B jest skup A × B, koji se sastoji od svih uređenih parova (a, b), za koje vrijedi da je a ∈ A, b ∈ B. Uređeni par je dvočlani skup, u kojem je zadano koji se od dvaju elemenata smatra prvim, a koji drugim.^[1]

Kad imamo konačne skupove A i B, za koje vrijedi da A ima n elemenata, B m elemenata, u skupu A × B broj elemenata je jednak je umnošku n · m.^[1]

Ako imamo više skupova, primjerice A, B i C, Kartezijev umnožak tih triju skupova je skup A × B × C svih uređenih trojki (a, b, c), pri čemu je a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C.^[1]

Osobine

Za Kartezijev umnožak vrijedi da je multiplikativna operacija, zbog čega je prioritetniji od aditivnih operacija kao što su presjek skupova i unija skupova.^[3] Znači kad bismo postavili

A ∪ ${\displaystyle B\times C}$

množilo bi se kao

A ∪ (${\displaystyle B\times C}$)^[3]

Kartezijev umnožak nije komutativan. Dokazivo je protuprimjerom za rušenje tvrdnje o komutativnosti, zato što je komutativnost univerzalna tvrdnja.^[3]

Kartezijev umnožak je distributivan prema uniji. Dokazivo je preko dokazivanja jednakosti dvaju skupova, tako što dokažemo jedan podskup, a zatim i nadskup drugoga i to u oba smjera.^[3]

Kartezijev umnožak je distributivna operacija prema presjeku, razlici i simetričnoj razlici skupova.^[3]

Vidi

• izravni umnožak