Linearni operator

Linearni operator središnji je pojam u linearnoj algebri. To je preslikavanje između dva vektorska prostora nad istim poljem pri kojem je slika zbroja vektora jednaka zbroju njihovih slika, a slika skaliranog vektora jednaka slici vektora skaliranoj za isti iznos. Formalno, ako su ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ vektorski prostori nad poljem ${\displaystyle \mathbb {F} }$, preslikavanje ${\displaystyle O:V\rightarrow W}$ zvat će se linearnim operatorom ako ima svojstvo aditivnosti, $${\displaystyle O(v_{1}+v_{2})=O(v_{1})+O(v_{2})}$$ i svojstvo homogenosti, $${\displaystyle O(\alpha \,v)=\alpha \,O(v)}$$ za sve vektore ${\displaystyle v}$ iz ${\displaystyle V}$ i sve ${\displaystyle \alpha }$ iz ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Linearnost je objedinjeni naziv za aditivnost i homogenost.

Linearni operator ishodište (nulvektor) jednog vektorskog prostora uvijek preslikava u ishodište drugog prostora.

Primjeri linearnih operatora

Rotacija ravnine za kut ${\displaystyle \phi }$ je linearan operator, isto kao i projekcija vektora ravnine na prvu koordinatnu os. Manje geometrijski primjeri su operator deriviranja definiran na prostoru svih polinoma n-tog stupnja, kao i operator integriranja nad istim prostorom. Ako je kompozicija dvaju linearnih operatora definirana, ona je također linearan operator.^[1]

Matrični prikaz linearnog operatora

Matrica jest linearno preslikavanje baznih vektora nekog vektorskog prostora.

Realna ${\displaystyle m\times n}$ matrica ${\displaystyle \mathbf {A} }$ radi linearno preslikavanje ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$.

Primjera radi, sljedeća ${\displaystyle 2\times 2}$ matrica

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}$ radi sljedeća ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ preslikavanja, ovisno o elementima matrice.

Horizontalno smicanje m = 1.25.	Refleksija oko vertikalne osi	Preslikavanje stiskanja with r = 3/2	Skaliranje s faktorom 3/2	Rotacija od π/6 = 30°
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)&-\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{bmatrix}}}$