Youngov modul elastičnosti

Youngov modul elastičnosti ili samo modul elastičnosti predstavlja mjeru krutosti materijala i jednak je omjeru vlačnog naprezanja i linijske vlačne deformacije, u linearnom ili elastičnom dijelu dijagrama naprezanja. Krutost materijala je važna veličina pri određivanju stabilnosti i sigurnosti neke konstrukcije. Youngov modul elastičnosti vrijedi i za tlačna naprezanja kod većine materijala:^[1]

${\displaystyle E\equiv {\frac {\mbox{vlačno naprezanje}}{\mbox{produljenje}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}}$

Univerzalna kidalica se koristi za mjerenje Youngovog modula elastičnosti

Ispitivanje u tri točke

gdje je:

E - Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

F - sila koja produljuje šipku ili štap (N);;

A₀ - početni poprečni presjek šipke ili štapa u mirovanju (mm²);

ΔL - produljuje šipke ili štapa (m);

L₀ - početna duljina šipke ili štapa (m);

σ – naprezanje u šipki ili štapu (N/mm²)

ε – omjer produljenja šipke ili štapa i njene duljine (bez dimenzije ili ΔL / Lo)

Youngov modul elastičnosti je nazvan prema britanskom znanstveniku Thomasu Youngu, iako je sam pojam razvio matematički Leonhard Euler, a prvi je pokuse izveo talijanski znanstvenik Giordano Riccati 1782., 25 godina prije Thomasa Younga.

Primjena

Youngov modul elastičnosti nam može poslužiti da se izračuna produljenje ili suženje nekog materijala, koji je pod utjecajem neke vanjske sile. Da bi se točno odredila promjena obujma nekog krutog materijala, pod utjecajem sile, potrebno je poznavati i još neka svojstva materijala, kao što je modul smičnosti G, gustoću ili Poissonov omjer υ.^[2]

Hookeov zakon za elastične materijale iznosi:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

ili

${\displaystyle \Delta L={\frac {F}{EA}}L={\frac {\sigma }{E}}L.}$

gdje je: σ – naprezanje u šipki ili štapu (N/mm²), E – Youngov modul elastičnosti (N/mm²), ε – omjer produljenja šipke ili štapa i njene duljine (bez dimenzije ili ΔL / L), L – duljina štapa, ΔL - produljenje šipke ili štapa (mm), F – sila koja produljuje šipku ili štap (N), A – poprečni presjek šipke ili štapa (mm²) "Elementi strojeva", Karl-Heinz Decker, Tehnička knjiga Zagreb, 1975.</ref>

Hookeov zakon vrijedi (do granice razvlačenja) za čelik, a može poslužiti i za bakar, aluminij i drvo). Za neke druge materijale vrijedi potencijalni Hookeov zakon, koji je utvrđen na osnovu preciznih mjerenja:^[3]

ε = α_o σⁿ

gdje je: α_o ≈ 1/E, n – za sivi lijev n = 1,08 za vlak i n = 1,04 za tlak; za lijevani cink, granit, beton vrijedi n = 1,14 – 1,16; za kožu i užad od konoplje n = 0,7.

Ako poznajemo Youngov modul elastičnosti za neki materijal, može se izračunati sila koja djeluje na njega, ako izmjerimo produljenje ili suženje materijala:

${\displaystyle F={\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}}$

Na osnovu Hookeovog zakona i Youngovog modula elastičnosti može se izračunati i konstanta opruge k:

${\displaystyle F=\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx\,}$

gdje je:

${\displaystyle k={\begin{matrix}{\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\end{matrix}}\,}$

${\displaystyle x=\Delta L.\,}$

Ili potencijalna energija opruge:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Odnosi između elastičnih konstanti

Za homogene izotropne materijale postoji jednostavan odnos između elastičnih konstanti (Youngov modul elastičnosti E, modul smičnosti G, ukupni modul elastičnosti K i Poissonov omjer υ):

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).\,}$

Vrijednosti Youngovog modula elastičnosti

Youngov modul elastičnosti se ispituje ponekad s različitim metodama i uzorcima za ispitivanje, pa postoje male razlike u usporedbi njihovih vrijednosti.

Približne vrijednosti Youngovog modula elastičnosti za različite materijale^[4]

Materijal	GPa	lbf/in2 (psi)
Guma (male deformacije)	0,01–0,1	1 500–15 000
PTFE (Teflon)	0,5	75 000
Polietilen male gustoće	0,2	30 000
Polietilen velike gustoće (HDPE)	0,8
Polipropilen	1,5-2	217 000–290 000
Proteinska ljuska virusa (kapsida)[5]	1–3	150 000–435 000
Polietilentereftalat ili Dacron	2-2,7
Polistiren	3-3,5	435 000–505 000
Najlon	2–4	290 000–580 000
Dvoatomne frustule (uglavnom silicijeva kiselina)[6]	0,35–2,77	50 000–400 000
Vlaknasti paneli srednje gustoće[7]	4	580 000
Borovo drvo (uzduž vlakana)	8,963	1 300 000
Hrastovo drvo (uzduž vlakana)	11	1 600 000
Beton velike čvrstoće (tlak)	30	4 350 000
Vlakna konoplje[8]	35
Magnezij metal (Mg)	45	6 500 000
Vlakna lana[9]	58
Aluminij	69	10 000 000
Vlakna koprive[10]	87
Staklo	50–90
Aramidna vlakna[11]	70,5–112,4
Sedef na školjkašima (uglavnom kalcijev karbonat)[12]	70	10 000 000
Zubna caklina (uglavnom kalcijev fosfat)[13]	83	12 000 000
Mjed i bronca	100–125	17 000 000
Titanij (Ti)		16 000 000
Titanijevi spojevi	105–120	15 000 000–17 500 000
Bakar (Cu)	117	17 000 000
Stakloplatika (70/30 težinski, uzduž vlakana)	40–45	5,800,000–6,500,000
Poliesterska stakloplatika[14]	17,2	2 500 000
Ugljikova stakloplatika (50/50 težinski, uzduž vlakana)	125–150	18 000 000–22 000 000
Ugljikova stakloplatika (70/30 težinski, uzduž vlakana)[15]	181	26 300 000
Silicij[16]	130-185
Kovano željezo	190–210
Čelik	200	29 000 000
Polikristalni itrij-željezni granati (YIG)[17]	193	28 000 000
Jednokristalni itrij-željezni granati (YIG)[18]	200	30 000 000
Berilij (Be)	287	42 000 000
Molibden (Mo)	329
Volfram (W)	400–410	58 000 000–59 500 000
Safir (Al2O3) uzduž C-osi	435	63 000 000
Silicijev karbid (SiC)	450	65 000 000
Osmij (Os)	550	79 800 000
Voframov karbid (WC)	450–650	65 000 000–94 000 000
Jednozidne ugljikove nanocijevi[19][20]	1,000	145 000 000
Grafen	1000
Dijamant (C)[21]	1220	150 000 000–175 000 000