Háromszögű négyzetszámok

A matematika, közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok, amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok. Végtelen sok ilyen szám létezik, az első néhány: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (A001110 sorozat az OEIS-ben).

A 36 háromszögű négyzetszám háromszögszám- és négyzetszám-felírásában.

Explicit képletek

Jelölje ${\displaystyle N_{k}}$ a ${\displaystyle k}$-adik háromszögű négyzetszámot, ${\displaystyle s_{k}}$ és ${\displaystyle t_{k}}$ pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait, így adódik:

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}}$.

Legyen egy ${\displaystyle N={\frac {n(n+1)}{2}}}$ háromszögszám háromszöggyöke ${\displaystyle n}$. A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan ${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}}$. Ezért ${\displaystyle N}$ akkor és csak akkor háromszögszám, ha ${\displaystyle 8N+1}$ négyzetszám, és természetesen ${\displaystyle N^{2}}$ akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben, ha ${\displaystyle 8N^{2}+1}$ négyzetszám, tehát ha léteznek olyan ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ egész számok, melyekre ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$. Ez a Pell-egyenlet egyik példája, ahol ${\displaystyle n=8}$. Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása (1,0), ezt a nulladik megoldásnak nevezik, és indexe ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Ha ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ jelöli adott ${\displaystyle n}$-re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását, akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható, hogy ${\displaystyle x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}}$ és ${\displaystyle y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}}$. Ezért bármely Pell-egyenletnek, aminek létezik nem triviális megoldása (ha n nem négyzetszám), végtelen sok megoldása létezik. Az első nem triviális megoldás ${\displaystyle n=8}$-ra könnyen megtalálható: (3,1). Az ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ megoldás az ${\displaystyle n=8}$ Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével: ${\displaystyle s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},}$ és ${\displaystyle N_{k}=y_{k}^{2}}$. Így tehát az első háromszögű négyzetszám, ami a (3,1)-ből adódik az 1, a következő, ami a (17,6) (=6×(3,1)-(1,0))-ból adódik, a 36.

Az N_k, s_k és t_k sorozatok az OEIS-ben itt találhatók:  A001110,  A001109, illetve  A001108.

1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet:^{[1] [2]}

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}}$.

A fentiből következő, de esetenként kényelmesebben használható képletek még:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right)\end{aligned}}}$.

A megfelelő explicit képletek ${\displaystyle s_{k}}$-ra és ${\displaystyle t_{k}}$-ra nézve:^[2]

${\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}$

és

${\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}}$.

Pell-egyenlet

A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására.^[3] Minden háromszögszám felírható t(t + 1)/2 alakban. Ezért olyan t és s egész számokat keresünk, melyekre

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$.

Némi átalakítással:

${\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}$

majd helyettesítve ${\displaystyle x=2t+1}$ és ${\displaystyle y=2s}$-et, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

ami a Pell-egyenlet egy példánya. Ezt a konkrét darabot a ${\displaystyle P_{k}}$ Pell-számok a következőképpen oldják meg:^[4]

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k}}$;

ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből:

${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}}$.

Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban, ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók.

Rekurrencia-relációk

A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként, ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is. Ezek^[5]

${\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2}$, ahol ${\displaystyle N_{0}=0{\text{ és }}N_{1}=1}$;

${\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2}}$, ahol ${\displaystyle N_{0}=0{\text{ és }}N_{1}=1}$.

Továbbá^[1][2]

${\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2}}$, ahol ${\displaystyle s_{0}=0{\text{ és }}s_{1}=1}$;

${\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2}$, ahol ${\displaystyle t_{0}=0{\text{ és }}t_{1}=1}$.

Más karakterizációk

Minden háromszögű négyzetszám felírható ${\displaystyle b^{2}c^{2}}$ alakban, ahol ${\displaystyle b/c}$ konvergál négyzetgyök 2 lánctört-alakjához.^[6]

A. V. Sylwester rövid bizonyítása arra nézve, hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik:^[7]

Ha az ${\displaystyle n(n+1)/2}$ háromszögszám négyzetszám, akkor a nagyobb

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}}$ háromszögszám is négyzetszám.

Azért tudjuk ezt, mert három négyzetszám szorzataként áll elő: ${\displaystyle 2^{2}}$ (a kitevő alapján), ${\displaystyle (n(n+1))/2}$ (az ${\displaystyle n}$-edik háromszögszám, a kiindulási feltétel alapján) és ${\displaystyle (2n+1)^{2}}$ (a kitevő alapján). Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz. Ez onnan is tudható, hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele, hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban, és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad.

A ${\displaystyle t_{k}}$ háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak (páros k értékekre), illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél (páratlan k értékekre). Tehát, ${\displaystyle 49=7^{2}=2\cdot 5^{2}-1\quad 288=17^{2}-1=2\cdot 12^{2}}$ és ${\displaystyle 1681=41^{2}=2\cdot 29^{2}-1}$. Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja: ${\displaystyle s_{k}:5\cdot 7=35,12\cdot 17=204}$ és ${\displaystyle 29\cdot 41=1189}$.

${\displaystyle N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1}:36-1=35,1225-36=1189}$ és ${\displaystyle 41616-1225=40391}$. Más szavakkal, két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg.

A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény:^[8]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$.

Numerikus adatok

Ahogy ${\displaystyle k}$ értéke egyre nő, a ${\displaystyle t_{k}/s_{k}}$ arány egyre jobban megközelíti a ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1,41421}$-t, az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{4}=17+12{\sqrt {2}}\approx 33,97056}$-t. Az alábbi táblázat bemutatja ${\displaystyle k}$ értékeit 0 és 7 között.

${\displaystyle k}$	${\displaystyle N_{k}}$	${\displaystyle s_{k}}$	${\displaystyle t_{k}}$	${\displaystyle t_{k}/s_{k}}$	${\displaystyle N_{k}/N_{k-1}}$
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1,33333	36
3	1225	35	49	1,4	34,02778
4	41 616	204	288	1,41176	33,97224
5	1 413 721	1189	1681	1,41379	33,97061
6	48 024 900	6930	9800	1,41414	33,97056
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1,41420	33,97056